Question

[Lê Bùi Nguyên Phương]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

            1. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

            2. Chứng minh ba đường thẳng GE, FH và IO đồng quy tại một điểm.

            3. Chứng minh hình chiếu của I trên caccs cạnh và trung điểm các cạnh của tứ giác cùng nằm trên một đường tròn.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1: Xét ΔABD có

E,H lần lượt là trung điểm của AB,AD
=>EH là đường trung bình của ΔABD

=>EH//BD và \(EH=\frac{BD}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔCBD có

F,G lần lượt là trung điểm của CB,CD

=>FG là đường trung bình của ΔCBD

=>FG//BD và \(FG=\frac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra EH//FG và EH=FG

Xét ΔBAC có

E,F lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>EF là đường trung bình của ΔABC

=>EF//AC

mà AC⊥BD

nên EF⊥BD

Ta có: EF⊥BD

EH//BD

Do đó: EF⊥EH

Xét tứ giác EHGF có

EH//GF

EH=FG

Do đó: EHGF là hình bình hành

Hình bình hành EHGF có EF⊥EH

nên EHGF là hình chữ nhật

Answer 2

[Lê Song Phương]

1. Xét tam giác ABC có E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra EF//AC và \(EF=\frac12AC\) .

Tương tự, ta có HG//AC và \(HG=\frac12AC\). Như vậy, EF//HG và \(EF=HG\). Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành.

Lại có EH//BD, mà BD vuông góc với AC nên HG vuông góc với EH hay \(\hat{EHG}=90^{o}\). Tứ giác EFGH là hình bình hành có \(\hat{EHG}=90^{o}\) nên EFGH là hình chữ nhật. (đpcm)

2. Kẻ AL vuông góc với BC tại L. Gọi K là giao điểm của BI và AL và M là giao điểm của EH và AL. Vẽ đường kính AN của (O). Khi đó, ta thấy ngay OF//AK. (1) (vì cùng vuông góc với BC)

Dễ thấy EH là đường trung bình của tam giác ABD nên EH//BD hay EM//BK.

Tam giác ABK có E là trung điểm AB và EM//BK (M thuộc AK) nên M là trung điểm AK.

Tứ giác ABCD nội tiếp nên \(\hat{ADB}=\hat{ACB}\) hay \(\hat{ADK}=\hat{ACL}\). Lại có \(\hat{ACL}=\hat{AKD}\) (vì cùng phụ với \(\hat{CAL}\) ) nên \(\hat{ADK}=\hat{AKD}\), suy ra tam giác ADK cân tại A. Tam giác này nhận AI làm đường cao nên AI cũng là trung tuyến của tam giác ADK, suy ra I là trung điểm của DK.

Từ đó, dễ thấy IH là đường trung bình của tam giác ADK nên IH//AK (hay IH//AM (2) ) và \(IH=\frac12AK=AM\). (3)

Trong đường tròn (O) có đường kính AN nên \(\hat{ABN}=90^{o}\), suy ra AB vuông góc với BN. Lại có CK vuông góc với AB (do K là trực tâm tam giác ABC) nên BN//CK. Tương tự, ta có CN//BK nên tứ giác BKCN là hình bình hành, suy ra trung điểm F của BC cũng đồng thời là trung điểm KN.

Từ đó, dễ thấy OF là đường trung bình của tam giác NAK, suy ra \(OF=\frac12AK=AM\). (4)

Từ (1), (2), (3) và (4), dễ dàng suy ra tứ giác OFIH là hình bình hành, dẫn đến OI và HF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Hơn nữa, do tứ giác EFGH là hình chữ nhật (theo câu a)) nên HF và EG cũng cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn. Từ đó suy ra EG, OI, HF đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn. (đpcm)