Question

[MINH ĐỨC]

Tìm hai chữ số tận cùng của số: A = 2002^2002^2002

Answer 1

[Lê Thị Oanh]

Bước 1: Rút gọn bài toán

Ta có:

\(A = 2002^{2002^{2002}} \equiv 2^{2002^{2002}} m o d \textrm{ } \textrm{ } 100\)

Vì \(2002 \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 100\)

---

📌 Bước 2: Tìm chu kỳ của \(2^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 100\)

Ta dùng định lý Euler:

• \(\phi \left(\right. 100 \left.\right) = 40\)
  → Với \(gcd ⁡ \left(\right. 2 , 100 \left.\right) = 2 \neq 1\), nên ta phân tích mod 100 thành mod 4 và mod 25, sau đó dùng chinese remainder theorem (CRT):

---

✳️ Bước 3: Tính \(A m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\)

\(2^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 4 = \left{\right. 0 & \text{n} \geq 2 \\ 2 & \text{n} = 1 \\ 1 & \text{n} = 0 \Rightarrow \text{V} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; n = 2002^{2002} \geq 2 \Rightarrow 2^{n} \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\)

---

✳️ Bước 4: Tính \(A m o d \textrm{ } \textrm{ } 25\)

Ta dùng định lý Euler:

• \(\phi \left(\right. 25 \left.\right) = 20\)
• \(2^{20} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 25\)

⇒ Ta cần tính:

\(2^{2002^{2002}} m o d \textrm{ } \textrm{ } 25 = 2^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 25 \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; k \equiv 2002^{2002} m o d \textrm{ } \textrm{ } 20\)

---

Tính \(k = 2002^{2002} m o d \textrm{ } \textrm{ } 20\)

• Vì \(2002 \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 20\)
  → \(k \equiv 2^{2002} m o d \textrm{ } \textrm{ } 20\)

---

Tìm chu kỳ \(2^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 20\):

Ta tính nhanh:

\(2^{1} = 2 2^{2} = 4 2^{3} = 8 2^{4} = 16 2^{5} = 12 2^{6} = 4 2^{7} = 8 \Rightarrow \text{chu}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˋ}{\text{y}} :\&\text{nbsp}; 2 , 4 , 8 , 16 , 12 , \boxed{4 , 8 , 16 , 12 , . . .} \&\text{nbsp};(\text{chu}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˋ}{\text{y}} \&\text{nbsp};\text{4})\)

⇒ \(2^{2002} m o d \textrm{ } \textrm{ } 20\) có chu kỳ 4 ⇒ ta tính:

\(2002 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4 = 2 \Rightarrow 2^{2002} \equiv 4 m o d \textrm{ } \textrm{ } 20\)

---

✅ Quay lại:

\(2^{2002^{2002}} \equiv 2^{4} = 16 m o d \textrm{ } \textrm{ } 25\)

---

✳️ Bước 5: Hệ hai mod:

Tìm số \(x\) sao cho:

\(x \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4 x \equiv 16 m o d \textrm{ } \textrm{ } 25\)

Đặt \(x = 4 k\), thay vào:

\(4 k \equiv 16 m o d \textrm{ } \textrm{ } 25 \Rightarrow k \equiv 4 m o d \textrm{ } \textrm{ } 25 \Rightarrow k = 25 t + 4 \Rightarrow x = 4 k = 4 \left(\right. 25 t + 4 \left.\right) = 100 t + 16\)

Vậy:

\(x \equiv \boxed{16 m o d \textrm{ } \textrm{ } 100}\)

---

✅ KẾT LUẬN:

Hai chữ số tận cùng của \(A = 2002^{2002^{2002}}\) là:

\(\boxed{16}\)