Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xyz}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{xyz}=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)(vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>0\))
Mặt khác, ta có : \(\frac{1}{x+y+z}=2\) .
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x+y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
Từ đó suy ra P = 0 (lí do vì x,y,z là các số mũ lẻ)
b) Ta có \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}\)(BĐT Schwarz)
\(=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y+z}=\frac{y^2}{z+x}=\frac{z^2}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
a) Có \(P=1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(BĐT Bunyakovsky)
\(=\sqrt{3.\left[2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\right]}\)
\(\le\sqrt{3\left[4+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3\left(4+\frac{4}{3}\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3
a/ \(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-b^2\right)+\left(a+b\right)=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)
Giả sử d là UCLN (a - b, 2a + 2b + 1) thì ta có
b2 chia hết cho d2 => b chia hết cho d
Mà 2a + 2b + 1 - 2(a - b) = 4b + 1 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d hay d = 1
=> (a - b) và (2a + 2b +1) nguyên tố cùng nhau
Vậy 2a + 2b + 1 là số chính phương
2 SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU KHÔNG CÓ NGHĨA LÀ 1 TRONG 2 SỐ ĐÓ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG : VIDU 5 VÀ 6 LÀ 2 SỐ NG TỐ CÙNG NHAU VÌ CÓ UCLN=1 NHƯNG KO CÓ SỐ NÀO LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG CẢ...HIHIHI
\(x \left(\right. \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \left.\right) + y \left(\right. \frac{1}{z} + \frac{1}{x} \left.\right) + z \left(\right. \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \left.\right) = - 2\)
\(\frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{z} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} = - 2\)
\(\frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{z} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + 3 = 1\)
\(\frac{x}{y} + \frac{x}{z} + 1 + \frac{y}{z} + \frac{y}{x} + 1 + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + 1 = 1\)
\(\left(\right. x + y + z \left.\right) \left(\right. \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \left.\right) = 1\)
Đặt \(S = x + y + z\) và \(P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\), ta có:
\(S \cdot P = 1\)
Ta lại có: \(x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = \left(\right. x + y + z \left.\right) \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x \left.\right)\)
Vì \(x^{3} + y^{3} + z^{3} = 1\), ta có: \(1 - 3 x y z = \left(\right. x + y + z \left.\right) \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x \left.\right)\)
Ta có hằng đẳng thức: \(x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x = \frac{1}{2} \left[\right. \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + \left(\right. y - z \left.\right)^{2} + \left(\right. z - x \left.\right)^{2} \left]\right.\)
Nếu \(x + y + z = 0\), thì \(S P = 0\), mâu thuẫn với \(S P = 1\).
Vậy \(x + y + z \neq 0\).
Ta có: \(\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)\) \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = \left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)\)
Khi đó: \(x^{2} + y^{2} + z^{2} - \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) = \left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} - 3 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)\) \(1 - 3 x y z = \left(\right. x + y + z \left.\right) \left[\right. \left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} - 3 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) \left]\right.\) \(1 - 3 x y z = \left(\right. x + y + z \left.\right)^{3} - 3 \left(\right. x + y + z \left.\right) \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{x y + y z + z x}{x y z}\) Vậy \(x y + y z + z x = x y z \left(\right. \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \left.\right) = x y z \cdot P\) \(1 - 3 x y z = S^{3} - 3 S \left(\right. x y z \cdot P \left.\right)\) \(1 - 3 x y z = S^{3} - 3 S \left(\right. x y z \cdot \frac{1}{S} \left.\right)\) \(1 - 3 x y z = S^{3} - 3 x y z\) \(S^{3} = 1\) \(S = 1\)
Vì \(S \cdot P = 1\), nên \(1 \cdot P = 1\)
\(\Rightarrow P=1\).
Vậy \(P=1\)
Đặt \(a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}\rArr P=a+b+c\)
Ta có:
\(x\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+y\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)+z\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=-2\)
\(\lrArr\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}=-2\)
\(\lrArr\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=-2\)
\(\lrArr\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}=-2\)
Do đó:
\(\left(a+b+c\right)^2-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)=0\)
\(\rArr\left(a+b+c\right)^2=-6\)
\(\rArr a+b+c=0\)
\(\rArr P=0\)
Vậy \(P=0\)