Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mặt cầu (S) có tâm I(3, -2, 1) và bán kính R = 10.
Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α) là:
d(I, α) = ∣∣ ∣∣2.3−2.(−2)−1+9√22+(−2)2+(−1)2∣∣ ∣∣=183=6|2.3−2.(−2)−1+922+(−2)2+(−1)2|=183=6
Vì d(I, α) < R ⇒⇒ Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình (C):
{2x−2y−z+9=0(x−3)2+(y+2)2+(z−1)2=100{2x−2y−z+9=0(x−3)2+(y+2)2+(z−1)2=100
Tâm K của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu trên mặt phẳng (α).
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến →nn→ = (2, -2. -1).
Đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) nhận →nn→ = (2, -2, -1) làm vectơ chỉ phương và có phương trình d :
⎧⎪⎨⎪⎩x=3+2ty=−2−2tz=1−t{x=3+2ty=−2−2tz=1−t
Thay t = -2 vào phương trình của d, ta được toạ độ tâm K của đường tròn (C).
⎧⎪⎨⎪⎩x=3+2.(−2)=−1y=−2−2.(−2)=2z=1−2.(−2)=3{x=3+2.(−2)=−1y=−2−2.(−2)=2z=1−2.(−2)=3
⇒⇒ K(-1, 2, 3)
Ta có: IK2 = (-1 - 3)2 + (2 + 2)2 + (3 - 1)2 = 36.
Bán kính r của đường tròn (C) là:
r2 = R2 - IK2 = 102 - 36 = 64 ⇒⇒ r= 8
Giải
Mặt cầu (S) có tâm I(3, -2, 1) và bán kính R = 10.
Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α) là:
d(I, α) = ∣∣ ∣∣2.3−2.(−2)−1+9√22+(−2)2+(−1)2∣∣ ∣∣=183=6|2.3−2.(−2)−1+922+(−2)2+(−1)2|=183=6
Vì d(I, α) < R ⇒⇒ Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình (C):
{2x−2y−z+9=0(x−3)2+(y+2)2+(z−1)2=100{2x−2y−z+9=0(x−3)2+(y+2)2+(z−1)2=100
Tâm K của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu trên mặt phẳng (α).
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến →nn→ = (2, -2. -1).
Đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) nhận →nn→ = (2, -2, -1) làm vectơ chỉ phương và có phương trình d :
⎧⎪⎨⎪⎩x=3+2ty=−2−2tz=1−t{x=3+2ty=−2−2tz=1−t
Thay t = -2 vào phương trình của d, ta được toạ độ tâm K của đường tròn (C).
⎧⎪⎨⎪⎩x=3+2.(−2)=−1y=−2−2.(−2)=2z=1−2.(−2)=3{x=3+2.(−2)=−1y=−2−2.(−2)=2z=1−2.(−2)=3
⇒⇒ K(-1, 2, 3)
Ta có: IK2 = (-1 - 3)2 + (2 + 2)2 + (3 - 1)2 = 36.
Bán kính r của đường tròn (C) là:
r2 = R2 - IK2 = 102 - 36 = 64 ⇒⇒ r= 8
\(\overrightarrow{AB}=\left(-1;-2;1\right)\); \(\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left(2;-1;2\right)\)\(\Rightarrow\overrightarrow{n_p}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{\alpha}}\right]=\left(-3;4;5\right)\)
Phương trình mặt phẳng (P) : \(-3x+4y+5z=0\)
\(R=d\left(A;\left(\alpha\right)\right)=\frac{\left|6-1+2+1\right|}{\sqrt{9}}=\frac{8}{3}\)
Phương trình mặt cầu (S) : \(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=\frac{64}{9}\)
a) Phương trình đường thẳng d có dạng: , với t ∈ R.
b) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α): x + y - z + 5 = 0 nên có vectơ chỉ phương
(1 ; 1 ; -1) vì
là vectơ pháp tuyến của (α).
Do vậy phương trình tham số của d có dạng:
c) Vectơ (2 ; 3 ; 4) là vectơ chỉ phương của ∆. Vì d // ∆ nên
cùng là vectơ chỉ phương của d. Phương trình tham số của d có dạng:
d) Đường thẳng d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4) có vectơ chỉ phương
(4 ; 2 ; -1) nên phương trình tham số có dạng:
Mặt cầu (S) có tâm I(-2;-1;1) và bán kính \(R=\sqrt{5}\)
Gọi r là bán kinh đường tròn thiết diện, theo giả thiết ta có : \(S=\pi\Leftrightarrow r^2.\pi=\pi\Rightarrow r=1\)
Gọi d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng \(\alpha\), ta có \(d^2=R^2-r^2=5-1\Rightarrow d=2\)
Mặt phẳng \(\alpha\), qua N (0;-1;0) có dạng \(Ax+B\left(y+1\right)+Cz=0\Leftrightarrow Ax+By+Cz+B=0\left(A^2+B^2+C^2\ne0\right)\)
Mặt khác, \(\alpha\) qua M(1;-1;1) nên thỏa mãn \(A+C=0\Rightarrow\text{ }\) \(\alpha:Ax+By-Az+B=0\)
Vì \(d=d\left(I,\alpha\right)=\frac{\left|-3A\right|}{\sqrt{2A^2+B^2}}=2\Leftrightarrow A^2=4B^2\Rightarrow\frac{A}{B}=\pm2\) vì \(A^2+B^2+C^2\ne0\)
Do đó có 2 mặt phẳng \(\alpha\), cần tìm là \(2x+y-2z+1=0\) và \(2x-y-2z-1=0\)
a) Thay các tọa độ x ; y ; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:
3(12 + 4t) +5(9 + 3t) - (1 + t) = 0
⇔ 26t + 78 = 0 ⇔ t = -3.
Tức là d ∩ (α) = M(0 ; 0 ; -2).
Trong trường hợp này d cắt (α) tại điểm M.
b) Thay các tọa độ x ; y ; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:
(1 + t) + 3.(2 - t) + (1 + 2t) + 1 = 0
⇔ 0.t + t = 9, phương trình vô nghiệm.
Chứng tỏ d và (α) không cắt nhau., ta có d // (α).
c) Thay các tọa độ x ; y ; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:
(1 + 1) + (1+ 2t) + (2 - 3t) - 4 = 0
⇔ 0t + 0 = 0,phương trình này có vô số nghiệm, chứng tỏ d ⊂ (α) .
Ta có \(A\left(4;0;-4\right)\) và \(B\left(1;-1;0\right)\) thuộc d
Gọi phương trình (P): \(ax+by+cz+4d=0\)
Do (P) chứa d \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-4c+4d=0\\a-b+4d=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=c-d\\b=a+4d=c+3d\end{matrix}\right.\)
Phương trình (P) viết lại:
\(\left(c-d\right)x+\left(c+3d\right)y+cz+4d=0\)
Do (P) tiếp xúc (S):
\(d\left(I;\left(P\right)\right)=R\Leftrightarrow\frac{\left|3\left(c-d\right)-3\left(c+3d\right)+c+4d\right|}{\sqrt{\left(c-d\right)^2+\left(c+3d\right)^2+c^2}}=3\)
\(\Leftrightarrow\left|c-8d\right|=3\sqrt{3c^2+4cd+10d^2}\)
\(\Leftrightarrow26c^2+52cd+26d^2=0\) \(\Rightarrow c=-d\)
Giao của (P) và trục Oz (\(x=0;y=0\)):
\(cz+4d=0\Rightarrow z=-\frac{4d}{c}=4\Rightarrow\left(0;0;4\right)\)
tỉ lệ có người trả lời đc :1/12