Question

[Nguyễn Trung Đức]

c) Xét đa thức \(P \left(\right. x \left.\right)\) có hệ số nguyên, biết:\(P \left(\right. a \left.\right) = 1\)\(P \left(\right. b \left.\right) = 2\),\(P \left(\right. c \left.\right) = 3\) Chứng minh: \(a + c = 2 b\)

Answer 1

[nhỏ cua]

Để chứng minh a+c=2b khi P(x) là đa thức có hệ số nguyên và P(a)=1, P(b)=2, P(c)=3, ta sử dụng tính chất của đa thức có hệ số nguyên.

Tính chất: Nếu P(x) là đa thức có hệ số nguyên, thì với mọi số nguyên m,n, ta có (m−n) là ước của (P(m)−P(n)).

Áp dụng tính chất này:

1. Với cặp (b,a): P(b)−P(a) chia hết cho (b−a). 2−1 chia hết cho (b−a). 1 chia hết cho (b−a). Vì b−a là số nguyên và 1 chia hết cho b−a, nên b−a có thể là 1 hoặc −1.
2. • Trường hợp 1: b−a=1⟹b=a+1.
   • Trường hợp 2: b−a=−1⟹b=a−1.
3. Với cặp (c,b): P(c)−P(b) chia hết cho (c−b). 3−2 chia hết cho (c−b). 1 chia hết cho (c−b). Vì c−b là số nguyên và 1 chia hết cho c−b, nên c−b có thể là 1 hoặc −1.
4. • Trường hợp 3: c−b=1⟹c=b+1.
   • Trường hợp 4: c−b=−1⟹c=b−1.

Bây giờ ta xét các trường hợp có thể xảy ra từ các kết hợp trên:

• Kết hợp Trường hợp 1 và Trường hợp 3: b=a+1 và c=b+1. Thay b=a+1 vào c=b+1, ta được c=(a+1)+1=a+2. Khi đó, a+c=a+(a+2)=2a+2. Và 2b=2(a+1)=2a+2. Vậy a+c=2b (thỏa mãn).
• Kết hợp Trường hợp 1 và Trường hợp 4: b=a+1 và c=b−1. Thay b=a+1 vào c=b−1, ta được c=(a+1)−1=a. Khi đó, a+c=a+a=2a. Và 2b=2(a+1)=2a+2. Ta có 2a=2a+2⟹0=2 (vô lý). Vậy trường hợp này không xảy ra.
• Kết hợp Trường hợp 2 và Trường hợp 3: b=a−1 và c=b+1. Thay b=a−1 vào c=b+1, ta được c=(a−1)+1=a. Khi đó, a+c=a+a=2a. Và 2b=2(a−1)=2a−2. Ta có 2a=2a−2⟹0=−2 (vô lý). Vậy trường hợp này không xảy ra.
• Kết hợp Trường hợp 2 và Trường hợp 4: b=a−1 và c=b−1. Thay b=a−1 vào c=b−1, ta được c=(a−1)−1=a−2. Khi đó, a+c=a+(a−2)=2a−2. Và 2b=2(a−1)=2a−2. Vậy a+c=2b (thỏa mãn).

Trong cả hai trường hợp thỏa mãn (b=a+1,c=a+2 hoặc b=a−1,c=a−2), ta đều có a+c=2b. Điều này chứng tỏ a,b,c là ba số nguyên liên tiếp hoặc có khoảng cách đều nhau.

Vậy, ta đã chứng minh được a+c=2b.