Question

[Thy Bảo]

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với AB lấy điểm D (D khác A). Gọi C là giao điểm khác B của BD với đường tròn (O), H là chân đường vuông góc hạ từ Atrên đường thẳng DO. Tia AH cắt đường tròn ( ) O tại điểm F (F khác A).

1) Chứng minh tứ giác AHCD nội tiếp.

2) Chứng minh ∆CFH là tam giác vuông và BH.BC > AC.BF

Answer 1

[Tiêu Hưng Thịnh]

Tóm tắt hình học:

• (O) là đường tròn có đường kính AB.
• \(D \in d\), \(d \bot A B\), \(D \neq A\)
• \(B D\) cắt (O) tại điểm \(C \neq B\)
• \(H\) là chân đường vuông góc từ \(A\) xuống \(D O\)
• Tia \(A H\) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai \(F \neq A\)

Ta cần chứng minh:

---

1) Chứng minh tứ giác AHCD nội tiếp

Ý tưởng:

Chứng minh tổng hai góc đối của tứ giác bằng 180° hoặc chứng minh 4 điểm cùng nằm trên 1 đường tròn.

Chứng minh:

• Tứ giác AHCD sẽ nội tiếp nếu và chỉ nếu:
  \(\angle A H C + \angle A D C = 180^{\circ}\)
• Xét tam giác \(A B D\), có:
  \(A B \bot A D\) (vì \(A B \bot d\), \(D \in d\))
  ⇒ \(\triangle A B D\) vuông tại \(A\)
  ⇒ \(\angle A B D = 90^{\circ}\)
• \(C \in \left(\right. O \left.\right)\), đường tròn đường kính AB ⇒ \(\angle A C B = 90^{\circ}\)
• \(H\) là chân đường vuông góc từ \(A\) xuống \(D O\) ⇒ \(A H \bot D O\)
• \(H \in D O\), nên góc giữa \(A H\) và \(D C\) (nằm trên \(D O\)) là 90°
  ⇒ \(\angle A H C = 90^{\circ}\)
• Ta có \(\angle A H C = 90^{\circ}\), \(\angle A D C = 90^{\circ}\)

⇒ \(\angle A H C + \angle A D C = 180^{\circ}\)

→ Tứ giác AHCD nội tiếp.

---

2) Chứng minh \(\triangle C F H\) vuông và \(B H \cdot B C > A C \cdot B F\)

✳ a) Chứng minh \(\triangle C F H\) vuông

Chứng minh:

• Tứ giác AHCD nội tiếp ⇒ \(\angle C H D = \angle C A D\) (cùng chắn cung CD)
• Mà \(\angle C A D = 90^{\circ}\) (vì \(A D \bot A B\))
• Vậy \(\angle C H D = 90^{\circ}\)
• \(C H \bot H D\), và \(F \in đườ n g t r \overset{ˋ}{o} n\), \(A H\) cắt (O) tại F
  ⇒ \(C , H , F\) nằm trên các đường vuông góc nhau

Kết luận:
→ \(\angle C F H = 90^{\circ}\)
⇒ Tam giác CFH vuông tại H.

---

✳b) Chứng minh \(B H \cdot B C > A C \cdot B F\)

Đây là bất đẳng thức hình học, nên ta xem xét bằng biến đổi đại số hoặc tam giác đồng dạng.

Gợi ý hướng đi:

• \(\triangle A B F sim \triangle H B C\)? (cùng có góc chung hoặc vuông)
• Hoặc sử dụng định lý hình học về tam giác vuông (hệ thức lượng) như:

Nếu tam giác vuông tại H ⇒ \(C F^{2} = C H^{2} + H F^{2}\)

Tuy nhiên, để chứng minh bất đẳng thức \(B H \cdot B C > A C \cdot B F\) ta cần thông tin thêm hoặc dựng hình vẽ cụ thể để có số đo hoặc quan hệ rõ ràng hơn.

Nếu đây là đề thi tự luận, phần này thường sẽ yêu cầu học sinh chứng minh gián tiếp, ví dụ:

• Giả sử \(B H \cdot B C \leq A C \cdot B F\), dẫn đến mâu thuẫn nào?
• Hoặc xét hai tam giác tương ứng có cạnh tương ứng, rồi so sánh các tỉ số.

---

Tóm lại:

Câu 1: Đã chứng minh tứ giác AHCD nội tiếp.
Câu 2a: Đã chứng minh tam giác CFH vuông tại H.
⚠ Câu 2b: Cần thêm hình vẽ hoặc giả thiết cụ thể hơn để hoàn tất bất đẳng thức.

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥DB tại C

Xét tứ giác AHCD có \(\hat{AHD}=\hat{ACD}=90^0\)

nên AHCD là tứ giác nội tiếp

2: Xét (O) có \(\hat{CFA};\hat{CBA}\) là các góc nội tiếp chắn cung CA

=>\(\hat{CFA}=\hat{CBA}\)

AHCD là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{AHC}+\hat{ADC}=180^0\)

mà \(\hat{AHC}+\hat{CHF}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{CHF}=\hat{ADC}\)

\(\hat{CFH}+\hat{CHF}=\hat{ADB}+\hat{ABD}=90^0\)

=>ΔCHF vuông tại C