Question

[Cong Thanh]

từ m nằm ngoài o vẽ 2 tiếp tuyến ma mb qua m kẻ mx nằm trong amo cắt o c và d oi vuông cd tại i ai cắt o tại e 

a cm i là trung điểm cd aiob là tứ giác nội tiếp

b ac.bd=ad.bc

Answer 1

[Roblox Player]

- Để giải quyết bài toán hình học này, ta sẽ đi qua từng bước chứng minh theo yêu cầu của bạn: a)- Chứng minh I là trung điểm của CD

• Chứng minh OI ⊥ CD tại I:
• • Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B, nên OA ⊥ MA và OB ⊥ MB.
  • Theo giả thiết, OI ⊥ CD tại I.
• Chứng minh I là trung điểm của CD:
• • Vì OI là đường kính của đường tròn (O) và OI ⊥ CD tại I, theo tính chất đường kính vuông góc với dây cung, I là trung điểm của CD.

- Chứng minh tứ giác AIOB nội tiếp

• Chứng minh ∠OAI + ∠OBI = 180°:
• • Vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B, nên ∠OAI = 90° và ∠OBI = 90°.
  • Do đó, ∠OAI + ∠OBI = 90° + 90° = 180°.
• Kết luận:
• • Tứ giác AIOB có tổng hai góc đối bằng 180°, nên tứ giác AIOB nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Chứng minh AC.BD = AD.BC

• Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng:
• • Xét tam giác AIC và tam giác DIB:
  • • ∠ACI = ∠DBI (cùng chắn cung AE)
    • ∠AIC = ∠DIB (đối đỉnh)
    • Vậy, ΔAIC ∼ ΔDIB (g.g)
  • Suy ra: AC/DB = AI/DI (1)
  • Xét tam giác AID và tam giác CIB:
  • • ∠ADI = ∠BCI (cùng chắn cung BE)
    • ∠AID = ∠CIB (đối đỉnh)
    • Vậy, ΔAID ∼ ΔCIB (g.g)
  • Suy ra: AD/BC = AI/CI (2)
• Sử dụng tính chất của trung điểm:
• • Vì I là trung điểm của CD, nên CI = DI.
• Kết hợp các tỉ lệ:
• • Từ (1) và (2), ta có:
  • • AC/DB = AI/DI
    • AD/BC = AI/CI
  • Vì CI = DI, nên AI/DI = AI/CI.
  • Do đó, AC/DB = AD/BC.
• Kết luận:
• • Từ AC/DB = AD/BC, suy ra AC.BC = AD.BD (điều phải chứng minh).

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của CD

Ta có: \(\hat{OIM}=\hat{OAM}=\hat{OBM}=90^0\)

=>O,I,B,M,A cùng thuộc đường tròn đường kính OM

=>AOIB nội tiếp