Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Đặt \(z=a+bi\)
Ta có: \(|z|-2\overline{z}=-7+3i+z\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{a^2+b^2}-2(a-bi)=-7+3i+a+bi\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{a^2+b^2}-2a)+2bi=(-7+a)+i(b+3)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{a^2+b^2}-2a=-7+a(1)\\ 2b=b+3(2)\end{matrix}\right.\)
Từ (2) suy ra \(b=3\)
Thay vào (1): \(\sqrt{a^2+9}=3a-7\)
\(\Rightarrow (3a-7)^2=a^2+9\)
\(\Leftrightarrow 9a^2+49-42a=a^2+9\)
\(\Leftrightarrow 8a^2-42a+40=0\)
\(\Leftrightarrow a=4\) (chọn) hoặc \(a=\frac{5}{4}\) (loại do \(a\in\mathbb{Z}\) )
Vậy số phức \(z=4+3i\)
\(\Rightarrow w=1-(4+3i)+(4+3i)^2=4+21i\)
\(\Rightarrow |w|=\sqrt{4^2+21^2}=\sqrt{457}\)
a) Ta có
\(a^2+4b^2=12ab\Leftrightarrow\left(a+2b\right)^2=16ab\)
Do a,b dương nên \(a+2b=4\sqrt{ab}\) khi đó lấy logarit cơ số 10 hai vế ta được :
\(lg\left(a+2b\right)=lg4+\frac{1}{2}lg\left(ab\right)\)
hay
\(lg\left(a+2b\right)-2lg2=\frac{1}{2}\left(lga+lgb\right)\)
b) Giả sử a,b,c đều dương khác 0. Để biểu diễn c theo a, ta rút lgb từ biểu thức \(a=10^{\frac{1}{1-lgb}}\) và thế vào biểu thức \(b=10^{\frac{1}{1-lgc}}\). Sau khi lấy logarit cơ số 10 2 vế, ta có :
\(a=10^{\frac{1}{1-lgb}}\Rightarrow lga=\frac{1}{1-lgb}\Rightarrow lgb=1-\frac{1}{lga}\)
Mặt khác , từ \(b=10^{\frac{1}{1-lgc}}\) suy ra \(lgb=\frac{1}{1-lgc}\) Do đó :
\(1-\frac{1}{lga}=\frac{1}{1-lgc}\)
\(\Rightarrow1-lgx=\frac{lga}{lga-1}=1+\frac{1}{lga-1}\)
\(\Rightarrow lgc=\frac{1}{1-lga}\)
Từ đó suy ra : \(c=10^{\frac{\frac{1}{1-lga}}{ }}\)
a) \(A=\left[\left(\frac{1}{5}\right)^2\right]^{\frac{-3}{2}}-\left[2^{-3}\right]^{\frac{-2}{3}}=5^3-2^2=121\)
b) \(B=6^2+\left[\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{3}{4}}\right]^{-4}=6^2+5^3=161\)
c) \(C=\frac{a^{\sqrt{5}+3}.a^{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}-1\right)}}{\left(a^{2\sqrt{2}-1}\right)^{2\sqrt{2}+1}}=\frac{a^{\sqrt{5}+3}.a^{5-\sqrt{5}}}{a^{\left(2\sqrt{2}\right)^2-1^2}}\)
\(=\frac{a^{\sqrt{5}+3+5-\sqrt{5}}}{a^{8-1}}=\frac{a^8}{a^7}=a\)
d) \(D=\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)^2:\left(b-2b\sqrt{\frac{b}{a}}+\frac{b^2}{a}\right)\)
\(=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2:b\left[1-2\sqrt{\frac{b}{a}}+\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\right]\)
\(=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2:b\left(1-\sqrt{b}a\right)^2\)
Theo bđt Cauchy - Schwart ta có:
\(\text{Σ}cyc\frac{c}{a^2\left(bc+1\right)}=\text{Σ}cyc\frac{\frac{1}{a^2}}{b+\frac{1}{c}}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a+b+c}\)\(=\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)+3a^2b^2c^2}\)
Đặt \(ab+bc+ca=x;abc=y\).
Ta có: \(\frac{x^2}{xy+3y^2}\ge\frac{9}{x\left(1+y\right)}\Leftrightarrow x^3+x^3y\ge9xy+27y^2\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2-9y\right)+y\left(x^3-27y\right)\ge0\) ( luôn đúng )
Vậy BĐT đc CM. Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1
Đặt \(t=\left|1+z\right|\in\left[0,2\right]\)
\(t^2=\left(1+z\right)\left(1+\overline{z}\right)=2+2Re\left(z\right)\)
\(\Rightarrow Re\left(z\right)=\frac{t^2-2}{2}\)
Khi đó \(\left|1-z+z^2\right|=\sqrt{\left|7-2t^2\right|}\)
Xét hàm số :
\(f:\left[0;2\right]\) -> \(R,f\left(t\right)=t+\sqrt{\left|7-2t^2\right|}\)
Ta được :
\(f\left(\sqrt{\frac{7}{2}}\right)=\sqrt{\frac{7}{2}}\le t+\sqrt{\left|7-2t^2\right|}\le f\left(\sqrt{\frac{7}{2}}\right)=\sqrt[3]{\frac{7}{6}}\)
Câu 1:
\(2f\left(x\right)+3f\left(\frac{2}{3x}\right)=5x\) (1)
Đặt \(t=\frac{2}{3x}\Rightarrow x=\frac{2}{3t}\)
\(\Rightarrow2f\left(\frac{2}{3t}\right)+3f\left(t\right)=5.\frac{2}{3t}\Leftrightarrow2f\left(\frac{2}{3t}\right)+3f\left(t\right)=\frac{10}{3t}\)
\(\Rightarrow2f\left(\frac{2}{3x}\right)+3f\left(x\right)=\frac{10}{3x}\Leftrightarrow3f\left(\frac{2}{3x}\right)+\frac{9}{2}f\left(x\right)=\frac{5}{x}\) (2)
Trừ vế cho vế của (2) cho (1):
\(\frac{5}{2}f\left(x\right)=\frac{5}{x}-5x\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{2}{x}-2x\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_{\frac{2}{3}}\frac{f\left(x\right)}{x}dx=\int\limits^1_{\frac{2}{3}}\left(\frac{2}{x^2}-2\right)dx=\left(-\frac{2}{x}-2x\right)|^1_{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\)
Câu 2:
\(3f\left(x\right)-4f\left(2-x\right)=-x^2-12x+16\) (1)
Đặt \(2-x=t\Rightarrow x=2-t\)
\(\Rightarrow3f\left(2-t\right)-4f\left(t\right)=-\left(2-t\right)^2-12\left(2-t\right)+16\)
\(\Rightarrow3f\left(2-t\right)-4f\left(t\right)=-t^2+16t-12\)
\(\Rightarrow3f\left(2-x\right)-4f\left(x\right)=-x^2+16x-12\)
\(\Rightarrow4f\left(2-x\right)-\frac{16}{3}f\left(x\right)=-\frac{4}{3}x^2+\frac{64}{3}x-16\) (2)
Cộng (1) và (2):
\(-\frac{7}{3}f\left(x\right)=-\frac{14}{3}x^2+\frac{28}{3}x\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=2x^2-4x\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0f\left(x\right)dx=\int\limits^2_0\left(2x^2-4x\right)dx=-\frac{8}{3}\)
ờ thì đúng mà
nhìn phát là biết
Bước 1: Đặt ẩn đơn giản hơn
Đặt:
\(u = \frac{z_{1}}{\mid z_{1} \mid} , v = \frac{z_{2}}{\mid z_{2} \mid}\)
Khi đó, ta có:
\(\mid u \mid = \mid v \mid = 1 \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp};\text{u}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{v}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{ph}ứ\text{c}\&\text{nbsp};đo\text{n}\&\text{nbsp};\text{v}ị,\&\text{nbsp};\text{t}ứ\text{c}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{o}} \&\text{nbsp};\text{m} \hat{\text{o}} -đ\text{un}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{1} \left.\right)\)
Và:
\(z_{1} = \mid z_{1} \mid \cdot u , z_{2} = \mid z_{2} \mid \cdot v \Rightarrow z_{1} + z_{2} = \mid z_{1} \mid u + \mid z_{2} \mid v\)
Lấy mô-đun 2 vế:
\(\mid z_{1} + z_{2} \mid = \mid \textrm{ } \mid z_{1} \mid u + \mid z_{2} \mid v \textrm{ } \mid\)
Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác ngược
Chúng ta sử dụng bất đẳng thức sau:
\(\mid a u + b v \mid \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b \left.\right) \mid u + v \mid , \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; \mid u \mid = \mid v \mid = 1 , a , b > 0\)
Đây là bất đẳng thức chuẩn trong hình học phức, có thể chứng minh bằng bình phương 2 vế (nếu bạn muốn mình sẽ chứng minh riêng).
Bước 3: Áp dụng
Áp dụng bất đẳng thức trên với \(a = \mid z_{1} \mid\), \(b = \mid z_{2} \mid\), ta có:
\(\mid z_{1} + z_{2} \mid = \mid \mid z_{1} \mid u + \mid z_{2} \mid v \mid \geq \frac{1}{2} \left(\right. \mid z_{1} \mid + \mid z_{2} \mid \left.\right) \mid u + v \mid\)
Mà:
\(u + v = \frac{z_{1}}{\mid z_{1} \mid} + \frac{z_{2}}{\mid z_{2} \mid}\)
Vậy:
\(\mid z_{1} + z_{2} \mid \geq \frac{1}{2} \left(\right. \mid z_{1} \mid + \mid z_{2} \mid \left.\right) \mid \frac{z_{1}}{\mid z_{1} \mid} + \frac{z_{2}}{\mid z_{2} \mid} \mid\)