Vectơ trong mặt phẳng tọa độ SVIP

1. Tọa độ của vectơ

⚡Trục tọa độ (còn gọi là trục, hay trục số) là một đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm $O$ và một vectơ $\overrightarrow{i}$ có độ dài bằng $1$. Điểm $O$ gọi là gốc tọa độ, vectơ $\overrightarrow{i}$ gọi là vectơ đơn vị của trục. Điểm $M$ trên trục biểu diễn số $x_0$ nếu $\overrightarrow{OM}=x_0\overrightarrow{i}$.

⚡Trên mặt phẳng với một đơn vị độ dài cho trước, xét hai trục $Ox, \, Oy$ có chung gốc $O$ và vuông góc với nhau. Kí hiệu vectơ đơn vị của trục $Ox$ là $\overrightarrow{i}$, vectơ đơn vị của $Oy$ là $\overrightarrow{j}$. Hệ gồm hai trục $Ox, \, Oy$ như vậy gọi là hệ trục tọa độ $Oxy$. Điểm $O$ gọi là gốc tọa độ, trục $Ox$ gọi là trục hoành, trục $Oy$ gọi là trục tung. Mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ $Oxy$ gọi là mặt phẳng tọa độ $Oxy$ hay mặt phẳng $Oxy$.

Với mỗi vectơ $\overrightarrow{u}$ trên mặt phẳng $Oxy$, có duy nhất cặp số $\left(x_0;y_0\right)$ sao cho $\overrightarrow{u}=x_0\overrightarrow{i}+y_0\overrightarrow{j}$. Ta nói $\overrightarrow{u}$ có tọa độ $\left(x_0;y_0\right)$ và viết $\overrightarrow{u}=\left(x_0;y_0\right) hay \overrightarrow{u}\left(x_0;y_0\right)$. Các số $x_0, \,y_0$ tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của $\overrightarrow{u}$. 

Ví dụ 1. Ta có

• $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}$ nên $\overrightarrow{a}$ có tọa độ là $(2;-5)$.

• $\overrightarrow{b}=0\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}=7\overrightarrow{j}$ nên $\overrightarrow{b}$ có tọa độ là $(0;7)$.

Nhận xét. Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ.

$\overrightarrow{u}\left(x;y\right)=\overrightarrow{v}\left(x';y'\right)$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=x' \\ y=y'\end{array}\right.$

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho các vecto $\vec{u}=(2 ; 3 k-3)$ và $\vec{v}=(1 ;-2)$. Tìm $k$ để $\vec{u}=\vec{v}$.

Lời giải

Để $\vec{u}=\vec{v}$ thì $3k-3 = -2 \Leftrightarrow 3k = 1 \Leftrightarrow k = \dfrac{1}{3}$.

Chú ý.

⚡Vì $\overrightarrow{i}=1\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}$ nên $\overrightarrow{i}$ có tọa độ là $(1;0)$.

⚡Vì $\overrightarrow{j}=0\overrightarrow{i}+1\overrightarrow{j}$ nên $\overrightarrow{j}$ có tọa độ là $(0;1)$.

⚡Vì $\overrightarrow{0}=0\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}$ nên $\overrightarrow{0}$ có tọa độ là $(0;0)$.

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(x';y'\right)$. Khi đó:

⚡$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(x+x';y+y'\right);$      ⚡$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left(x-x';y-y'\right);$  ⚡$k\overrightarrow{u}=\left(kx;ky\right),$ với $k\in \mathbb{R}$.

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng $O x y$, cho $\overrightarrow{a}=(6 ; 1), \overrightarrow{b}=(3 ; -4), \overrightarrow{c}=(2 ; 2)$.

a) Tìm tọa độ của véctơ $\overrightarrow{u}=3 \vec{a}- \vec{b}+2\vec{c}$.

b) Tìm các số $m, n$ để $\overrightarrow{c}=m \overrightarrow{a}+n \overrightarrow{b}$.

Lời giải

a) $\overrightarrow{u}=3 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=3.6-3+2.2=19 \\ y=3.1+4+2.2=11 \end{array}\right.$.

Vậy $\overrightarrow{u}=(19;11)$.

b) $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2=6m+3n \\ 2=m-4n\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m=\dfrac{14}{27} \\ n=-\dfrac{10}{27}\end{array}\right.$.

Do đó $\overrightarrow{c}=\dfrac{14}{27} \overrightarrow{a}-\dfrac{10}{27} \overrightarrow{b}$.

Nhận xét. (Dấu hiệu cùng phương của hai vectơ)

Vectơ $\overrightarrow{v}\left(x';y'\right)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}\left(x;y\right)\ne\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số $k$ sao cho $x'=kx, y'=ky$ (hay là $\dfrac{x'}{x}=\dfrac{y'}{y}$ nếu $xy\ne0$).

⚡Nếu điểm $M$ có tọa độ $(x;y)$ thì vectơ $\overrightarrow{OM}$ có tọa độ $(x;y)$ và độ dài $\left|\overrightarrow{OM}\right| = \sqrt{x^2+y^2}$.

Với vectơ $\overrightarrow{u}=(x;y)$, ta lấy điểm $M(x;y)$ thì $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OM}$ và $\left|\overrightarrow{u}\right| =\left|\overrightarrow{OM}\right| = \sqrt{x^2+y^2}$.

⚡Với hai điểm $M\left(x;y\right)$ và $N\left(x';y'\right)$ thì $\overrightarrow{MN}=\left(x'-x;y'-y\right)$ và khoảng cách giữa hai điểm $M$, $N $là $MN=\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{\left(x'-x\right)^2+\left(y'-y\right)^2}$.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A, B$ thỏa mãn $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}-3 \overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$.

a) Chứng minh rằng $O,A,B$ không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ của điểm $C$ sao cho tứ giác $OABC$ là hình bình hành.

c) Tìm tọa độ của điểm $D$ thuộc trục $Oy$ sao cho $DA=DB$.

Lời giải

a) Ba điểm $O, A, B$ thẳng hàng khi và chỉ khi các vectơ $\overrightarrow{O A}$ và $\overrightarrow{O B}$ cùng phương.

Ta có: $\overrightarrow{O A}=(-1;4)$, $\overrightarrow{O B}=(2;1)$

Khi đó $\dfrac{-1}{2} \neq \dfrac{4}{1}$

$\Rightarrow \overrightarrow{O A}$ và $\overrightarrow{O B}$ không cùng phương.

Vậy $O, A, B$ không thẳng hàng.

b) Để $OABC$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{A B}$ (hoặc $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{A B}$).

Ta có $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=(2,1)-(-1,4)=(3,-3)$

Vì $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{A B}$ nên $\overrightarrow{O C}=(3,-3)$

Vậy $C(3,-3)$.

c) Vì $D \in Oy$ nên $D(0;y)$.

Theo giả thiết, $D A=D B \Rightarrow D A^2=D B^2$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l} D A^2=(-1-0)^2+(4-y)^2=1+(4-y)^2 \\ D B^2=(2-0)^2+(1-y)^2=4+(1-y)^2\end{array}\right.$

Khi đó $1+(4-y)^2=4+(1-y)^2$.

Giải phương trình trên ta được $y=2$.

Vậy $D(0;2)$.

Chú ý. (Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác)

⚡ Cho hai điểm $A\left(x_A;y_A\right), B\left(x_B;y_B\right)$. Khi đó trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$.

⚡ Cho tam giác $ABC$ với $A\left(x_A;y_A\right), B\left(x_B;y_B\right), C\left(x_C;y_C\right)$. Khi đó trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ là $\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.