Dấu của tam thức bậc hai SVIP

1. TAM THỨC BẬC HAI

Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức có dạng $ax^2+bx+c$, trong đó $a,\,b,\,c$ là những số thực cho trước (với $a\ne 0$), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai. 

Ví dụ 1. Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai xác định các hệ số.

a) $f(x) = x^2 - 4x + 2$

b) $g(x) = -3x + 7$

c) $2x^3 - x + 5$

Lời giải

$f(x) = x^2 - 4x + 2$ là một tam thức bậc hai, trong đó $a=1,\,b=-4,\,c=2$.

$\Delta=b^2-4 a c$ và $\Delta'=b'^2-ac$, với $b=2b'$ tương ứng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $a x^2+b x+c$.

Ví dụ 2. Tính biệt thức hoặc biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $4x^2-2x+1$.

Lời giải

Tam thức bậc hai $4x^2-2x+1$ có $a=4;\,b=-2;\,c=1$ nên có:

$\Delta=(-2)^2-4.4.1=-12$; $\Delta'=(-1)^2-4.1=-3$.

Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai $ ax^2+bx+c=0 $ cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $ax^2+bx+c$.

2. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Cho tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c\,\,\,(a\ne 0)$.

⚡Nếu $\Delta< 0$ thì $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

⚡Nếu $\Delta=0$ thì $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\ne-\dfrac{b}{2a}$ và $f\Big(-\dfrac{b}{2a}\Big)=0$.

⚡Nếu $\Delta>0$ thì tam thức $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,\,x_2\,\,\,(x_1< x_2)$. Khi đó $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in(-\infty;x_1)\cup (x_2;+\infty)$; $f(x)$ trái dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in(x_1;x_2)$.

"Trong trái, ngoài cùng"

Chú ý: Định lí về dấu tam thức bậc hai có thể thay $\Delta$ bởi $\Delta'$.

Ví dụ 3. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) $3x^2-x+1$;

b) $-x^2+4x+5$;

c) $x^2+6x+9$.

Lời giải

a) $f(x)=3x^2-x+1$ có $\Delta=-11< 0$ và $a=3>0$ nên $f(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

b) $g(x)=-x^2+4x+5$ có $\Delta'=9>0$ và $a=-1< 0$ và có hai nghiệm phân biệt $x_1=-1;\,x_2=5$ do đó $g(x)< 0$ với mọi $x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)$ và $g(x)>0$ với mọi $x\in(-1;5)$.

c) $h(x)=x^2+6x+9$ có $\Delta=0$ và $a=1>0$ nên $h(x)$ có nghiệm kép $x=-3$ và $h(x)>0$ với mọi $x\ne-3$.