Các khái niệm mở đầu SVIP

1. KHÁI NIỆM VECTƠ

⚡Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối.

⚡Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Chú ý.

⚡Vectơ có điểm đầu là $A$ và điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$, đọc là vectơ \(\)$AB$.

⚡Để vẽ một vectơ, ta vẽ một đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối của nó, rồi đánh dấu mũi tên ở điểm cuối.

⚡Vectơ còn được kí hiệu là $\overrightarrow{a},\, \overrightarrow{b},\, \overrightarrow{x},\, \overrightarrow{y},\, ...$  \(\)

⚡Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{a}$ tương ứng được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{AB}\right|,\, \left|\overrightarrow{a}\right|$.

Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 2,\, BD = \sqrt{5}$ (Hình vẽ). Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{BC},\,\overrightarrow{CB},\,\overrightarrow{DC},\, \overrightarrow{AC}$.

Lời giải

Ta có $AB=CD=2$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, có $BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=1$.

• $\left|\overrightarrow{BC}\right| = BC = 1,\, \left|\overrightarrow{CB}\right| = CB=1$.

• $\left|\overrightarrow{DC}\right| = DC = 2$.

• $AC=BD=\sqrt{5}$ nên $\left|\overrightarrow{AC}\right| = AC = \sqrt{5}$.

2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU

⚡Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

⚡Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

⚡Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

⚡Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu là $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$ nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. 

Ví dụ 2. Trong hình vẽ sau

Ta có

• 2 cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và \(\)$\overrightarrow{MN}$; $\overrightarrow{CD}$ và \(\)$\overrightarrow{IK}$ có giá song song với nhau. Vectơ $\overrightarrow{EF}$ và \(\)$\overrightarrow{GH}$ có giá trùng nhau.

• Có 3 cặp vectơ cùng phương với nhau là: $\overrightarrow{AB}$ và \(\)$\overrightarrow{MN}$ (cùng hướng) ; $\overrightarrow{CD}$ và \(\)$\overrightarrow{IK}$ (cùng hướng); $\overrightarrow{EF}$ và \(\)$\overrightarrow{GH}$ (ngược hướng).

• $\overrightarrow{CD}$ và \(\)$\overrightarrow{IK}$ là hai vectơ bằng nhau.

Chú ý.

⚡Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (ví dụ $\overrightarrow{AA}$,\(\)$\overrightarrow{BB}$,... \(\)).

⚡Quy ước vectơ-không có độ dài bằng $0$, cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ.

⚡Các vectơ-không được kí hiệu chung là $\overrightarrow{0}$.

⚡Với mỗi điểm $O$ và vectơ $\overrightarrow{a}$ cho trước, có duy nhất điểm $A$ sao cho $\overrightarrow{OA}\overrightarrow{a}$.

Nhận xét. Ba điểm $A,\, B,\, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ và \(\)$\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

Chú ý. Ta có thể dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng như lực, vận tốc, gia tốc. Hướng của vectơ chỉ hướng của đại lượng, độ dài vectơ thể hiện cho độ lớn của đại lượng và được lấy tỉ lệ với độ lớn của đại lượng.

Ví dụ 3. Một người dùng lực $F = 100$ N để kéo một chiếc hộp lên mặt phẳng nghiêng góc $30^\circ$ so với phương ngang. Hãy biểu diễn lực kéo bằng vectơ và giải thích ý nghĩa của độ dài và hướng của vectơ đó.

Lời giải

Giả sử vectơ $\overrightarrow{F}$ biểu diễn lực $F$.

• Hướng của lực chính là hướng kéo hộp lên mặt phẳng nghiêng, tức là song song với mặt nghiêng và hướng lên, biểu thị hướng của lực kéo thực tế.

• Độ dài của vectơ $\overrightarrow{F}$ tỉ lệ với độ lớn $100$ N của lực kéo: càng mạnh thì vectơ càng dài (nếu kéo mạnh hơn, độ dài tăng).

Ta có thể minh họa bởi hình vẽ sau