HV
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
28 tháng 3 2020
Cách giải của bạn Lê Nhật Khôi có phần khồn đúng nhưng nó đã gợi cho mình ý tưởng như này
\(HPT\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(1-x\right)\left(x^2+y^2+1\right)=y\\2y\left(y+3\right)^2=2-z\\\left(z-2\right)\left(z+1\right)^2=1-x\end{cases}}\)
\(\Rightarrow-2y\left(y+3\right)^2\left(z+1\right)^2\left(x^2+y^2+1\right)=y\Leftrightarrow y\left[2\left(y+3\right)^2\left(z+1\right)^2\left(x^2+y^2+1\right)+1\right]=0\)
\(\Rightarrow y=0\Rightarrow x=1\Rightarrow\orbr{\begin{cases}z=-1\\z=2\end{cases}}\)
NT
0
TG
4
3 tháng 9 2017
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki dạng phân thức : x²/a + y²/b ≥ (x+y)²/(a+b)
Ta có :
3/(xy+yz+zx) + 2/(x²+y²+z²) = 6/(2xy+2yz+2zx) + 2/(x²+y²+z²)
≥ (√6+√2)²/(x+y+z)² = (√6+√2)² > 14 (đpcm).
3 tháng 9 2017
Cách 2 : Ta đặt xy+yz+zx = t ( t>0 ) thì x²+y²+z² = (x+y+z)² - 2(xy+yz+zx) = 1-2t.
Mặt khác ta lại có: 3(xy+yz+zx) ≤ (x+y+z)² = 1 ⇔ xy+yz+zx ≤ 1/3 hay t ≤ 1/3.
Ta đưa bài toán về việc c/m: 3/t + 2/(1-2t) ≥ 14 với 0 < t ≤ 1/3.
Biến đổi tương đương ta được : 3(1-2t) + 2t ≥ 14t(1-2t)
⇔ 28t² - 18t + 3 ≥ 0
⇔ 3(1-3t)² + t² ≥ 0 (đúng).
Tuy nhiên dấu "=" không xảy ra,
do đó 3/(xy+yz+zx) + 2/(x²+y²+z²) > 14.
QL
1
T
18 tháng 2 2020
Sửa đề: \(\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}\ge14\) với x, y > 0 và x + y = 1.
\(VT-VP=\frac{\left(x-y\right)^2\left[2\left(x-y\right)^2+xy\right]}{xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)
Tổng quát hóa: Cho \(xy\left(2a-b\right)>0\) và x + y = t (t là hằng số)
Chứng minh: \(\frac{a}{xy}+\frac{b}{x^2+y^2}\ge\frac{4a+2b}{t^2}\)
Xét hiệu: \(VT-VP=\frac{\left(x-y\right)^2\left[a\left(x-y\right)^2+\left(2a-b\right)xy\right]}{xy\left(x+y\right)^2\left(x^2+y^2\right)}\)
P/s: Bài toán trên là trường hợp đặt biệt của bài bên dưới khi a= 2;b=3;t=1
1 tháng 12 2021
\(ĐK:x\ge-2;y\le4\)
\(PT\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x^3-3x^2+3x-1\right)-\left(y^3-6y^2+12y-8\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^3-\left(y-2\right)^3=0\\ \Leftrightarrow\left(x-y+1\right)\left[\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right)\left(y-2\right)+\left(y-2\right)^2\right]=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-y+1=0\\x^2-4x+xy+y^2-5y+7=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\\ \left(1\right)\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{4}y^2+4+xy-2y-4x\right)+\dfrac{3}{4}y^2-3y+3=0\\ \Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}y-2\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(y^2-4y+4\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}y-2\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(y-2\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
Thay \(x=1;y=2\) vào PT(2) ta thấy ko thỏa mãn
Với \(x-y+1=0\Leftrightarrow y=x+1\), thay vào PT(2)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}=x^3+x^2-4x-1\left(-2\le x\le3\right)\\ \Leftrightarrow\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}-3=x^3+x^2-4x-4\\ \Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}-4}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}+3}=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{2\left[\left(x+2\right)\left(3-x\right)-4\right]}{\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}+3\right)\left(\sqrt{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}+2\right)}=\left(x^2-x-2\right)\left(x+2\right)\\ \Leftrightarrow\left(x^2-x-2\right)\left(x+2\right)+\dfrac{2\left(x^2-x-2\right)}{\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}+3\right)\left(\sqrt{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}+2\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-x-2\right)\left[x+2+\dfrac{1}{\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}+3\right)\left(\sqrt{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}+2\right)}\right]=0\)
Với \(x\ge-2\Leftrightarrow x^2-x-2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\Rightarrow y=0\\x=2\Rightarrow x=3\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)
Vậy HPT có nghiệm \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;0\right);\left(2;3\right)\right\}\)