Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chúng ta cần chứng minh các điều kiện sau cho các số nguyên dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\) và \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).
Bài toán phần a)
Chứng minh rằng \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\).
Giải: Ta đã biết rằng \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\), tức là:
\(\frac{x^{3} + 1}{y + 1} \in \mathbb{Z} .\)
Ta có thể xem xét \(x^{3} + 1\) dưới dạng nhân tử:
\(x^{3} + 1 = \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right) .\)
Ta cần chứng minh rằng \(\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right)\) chia hết cho \(y + 1\). Điều này có nghĩa là \(y + 1\) là ước của \(x^{3} + 1\), hay là:
\(y + 1 \mid \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right) .\)
Giả sử rằng \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\), thì sẽ có một số \(k\) sao cho:
\(x^{3} + 1 = k \left(\right. y + 1 \left.\right) ,\)
tức là \(k\) là một số nguyên. Như vậy, \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\), và bài toán đã được chứng minh cho phần a.
Bài toán phần b)
Chứng minh rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).
Giải: Ta cần chứng minh rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\), tức là:
\(\frac{x^{3} y^{3} - 1}{y + 1} \in \mathbb{Z} .\)
Ta có thể biến đổi \(x^{3} y^{3} - 1\) theo công thức phân tích đa thức:
\(x^{3} y^{3} - 1 = \left(\right. x y - 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} y^{2} + x y + 1 \left.\right) .\)
Ta cần chứng minh rằng \(\left(\right. x y - 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} y^{2} + x y + 1 \left.\right)\) chia hết cho \(y + 1\).
Giả sử rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\), ta có:
\(x^{3} y^{3} - 1 = m \left(\right. y + 1 \left.\right) ,\)
với một số nguyên \(m\), do đó \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\), hoàn thành bài toán phần b.
Kết luận: Chúng ta đã chứng minh được rằng:
- a) \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\),
- b) \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).