Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Đặt \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k\)\(\Rightarrow a=2k\); \(b=3k\); \(c=5k\)
Ta có: \(B=\frac{a+7b-2c}{3a+2b-c}=\frac{2k+7.3k-2.5k}{3.2k+2.3k-5k}=\frac{2k+21k-10k}{6k+6k-5k}=\frac{13k}{7k}=\frac{13}{7}\)
b, Ta có: \(\frac{1}{2a-1}=\frac{2}{3b-1}=\frac{3}{4c-1}\)\(\Rightarrow\frac{2a-1}{1}=\frac{3b-1}{2}=\frac{4c-1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{2\left(a-\frac{1}{2}\right)}{1}=\frac{3\left(b-\frac{1}{3}\right)}{2}=\frac{4\left(c-\frac{1}{4}\right)}{3}\) \(\Rightarrow\frac{2\left(a-\frac{1}{2}\right)}{12}=\frac{3\left(b-\frac{1}{3}\right)}{2.12}=\frac{4\left(c-\frac{1}{4}\right)}{3.12}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-\frac{1}{2}\right)}{6}=\frac{\left(b-\frac{1}{3}\right)}{8}=\frac{\left(c-\frac{1}{4}\right)}{9}\)\(\Rightarrow\frac{3\left(a-\frac{1}{2}\right)}{18}=\frac{2\left(b-\frac{1}{3}\right)}{16}=\frac{\left(c-\frac{1}{4}\right)}{9}\)
\(\Rightarrow\frac{3a-\frac{3}{2}}{18}=\frac{2b-\frac{2}{3}}{16}=\frac{c-\frac{1}{4}}{9}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{3a-\frac{3}{2}}{18}=\frac{2b-\frac{2}{3}}{16}=\frac{c-\frac{1}{4}}{9}=\frac{3a-\frac{3}{2}+2b-\frac{2}{3}-\left(c-\frac{1}{4}\right)}{18+16-9}=\frac{3a-\frac{3}{2}+2b-\frac{2}{3}-c+\frac{1}{4}}{25}\)
\(=\frac{\left(3a+2b-c\right)-\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right)}{25}=\left(4-\frac{23}{12}\right)\div25=\frac{25}{12}\times\frac{1}{25}=\frac{1}{12}\)
Do đó: +) \(\frac{a-\frac{1}{2}}{6}=\frac{1}{12}\)\(\Rightarrow a-\frac{1}{2}=\frac{6}{12}\)\(\Rightarrow a=1\)
+) \(\frac{b-\frac{1}{3}}{8}=\frac{1}{12}\)\(\Rightarrow b-\frac{1}{3}=\frac{8}{12}\)\(\Rightarrow b=1\)
+) \(\frac{c-\frac{1}{4}}{9}=\frac{1}{12}\)\(\Rightarrow c-\frac{1}{4}=\frac{9}{12}\)\(\Rightarrow c=1\)
ap dung tinh chat ti le thuc ta co a/a+2b=b/b+2c+=c/c+2a=a+b+c/a+2b+b+2c+c+2a=1/3
do đóa/a+2b=b/b+2c=c/c+2a=1/3
hay a chia 3 = a+2b
b chia 3 =b+2c
c chia 3 =c+2a
ma a,b,c la cac so nguyen duong nen a,b,c chia het cho 3
nen a+b+c chia het 3
Bài làm:
Ta có: \(\frac{a}{a+2b}=\frac{b}{b+2c}=\frac{c}{c+2a}=\frac{a+b+c}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{3}\)
Xét: \(\frac{a}{a+2b}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow3a=a+2b\Leftrightarrow2a=2b\Rightarrow a=b\)
Tương tự xét các phân thức còn lại ta chứng minh được: \(a=b=c\)
Thay \(\hept{\begin{cases}b=a\\c=a\end{cases}}\)ta được \(a+b+c=3a⋮3\)
\(\Rightarrow a+b+c⋮3\)
Cho hệ phương trình:
\(\left{\right. a^{3} = 3 \left(\right. a + 2 b \left.\right) \\ b^{3} = 3 \left(\right. b + 2 c \left.\right) \\ c^{3} = 3 \left(\right. c + 2 a \left.\right)\)
Mục tiêu:
Tìm tất cả các số thực \(\left(\right. a , b , c \left.\right)\) thỏa mãn hệ trên.
Bước 1: Nhận xét về tính đối xứng
Hệ phương trình có dạng đối xứng cyclic (tuần hoàn) giữa \(a , b , c\).
Bước 2: Thử nghiệm trường hợp đặc biệt
Trường hợp 1: \(a = b = c = t\)
Thay vào:
\(t^{3} = 3 \left(\right. t + 2 t \left.\right) = 9 t\)\(t^{3} = 9 t \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t^{3} - 9 t = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t \left(\right. t^{2} - 9 \left.\right) = 0\)
Nên:
\(t = 0 \text{ho}ặ\text{c} t = \pm 3\)
Kết quả trường hợp 1:
\(\left(\right. a , b , c \left.\right) = \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 3 , 3 , 3 \left.\right) , \left(\right. - 3 , - 3 , - 3 \left.\right)\)
Bước 3: Tìm nghiệm khác (nếu có)
Giả sử không phải tất cả bằng nhau.
Đặt:
\(X = a + 2 b , Y = b + 2 c , Z = c + 2 a\)
Theo hệ:
\(a^{3} = 3 X , b^{3} = 3 Y , c^{3} = 3 Z\)
Bước 4: Biểu diễn theo \(X , Y , Z\)
Nhớ rằng:
\(X = a + 2 b , Y = b + 2 c , Z = c + 2 a\)
Ta có hệ tuyến tính:
\(\left{\right. X = a + 2 b \\ Y = b + 2 c \\ Z = c + 2 a\)
Viết dưới dạng ma trận:
\(\left(\right. 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \left.\right) \left(\right. a \\ b \\ c \left.\right) = \left(\right. X \\ Y \\ Z \left.\right)\)
Bước 5: Từ hệ này, nếu ma trận khả nghịch, có thể biểu diễn \(a , b , c\) theo \(X , Y , Z\), nhưng đồng thời:
\(a^{3} = 3 X , b^{3} = 3 Y , c^{3} = 3 Z\)
Điều này khá phức tạp, ta chuyển sang bước khác.
Bước 6: Cộng cả 3 phương trình
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 \left(\right. a + b + c + 2 b + 2 c + 2 a \left.\right) = 3 \left(\right. 3 \left(\right. a + b + c \left.\right) \left.\right) = 9 \left(\right. a + b + c \left.\right)\)
Như vậy:
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 \left(\right. a + b + c \left.\right)\)
Bước 7: Đặt \(S = a + b + c\)
Công thức trên trở thành:
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 S\)
Bước 8: Biến đổi thêm
Sử dụng công thức tổng lập phương:
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = \left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a \left.\right)\)
Nếu \(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 S\), thì:
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = 9 S - 3 a b c\)
Nhưng nếu \(a , b , c\) bằng nhau, ta có nghiệm đã tìm. Nếu không, có thể \(S = 0\).
Bước 9: Thử nghiệm \(S = 0\)
Nếu \(a + b + c = 0\), thì:
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c\)
Theo bước 7, \(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 S = 0\), nên:
\(3 a b c = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a b c = 0\)
Bước 10: Kết luận trường hợp \(S = 0\)
Nếu tổng bằng 0, tích bằng 0 ⇒ ít nhất một trong ba số là 0.
Giả sử \(c = 0\), hệ trở thành:
\(\left{\right. a^{3} = 3 \left(\right. a + 2 b \left.\right) \\ b^{3} = 3 b \\ 0 = 3 \left(\right. 0 + 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 0 = 6 a \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a = 0\)
Từ đó:
\(a = 0\)
Phương trình thứ hai:
\(b^{3} = 3 b \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b^{3} - 3 b = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b \left(\right. b^{2} - 3 \left.\right) = 0\)
Nên:
\(b = 0 , b = \sqrt{3} , b = - \sqrt{3}\)
Vậy nghiệm:
\(\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , \sqrt{3} , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , - \sqrt{3} , 0 \left.\right)\)
Bước 11: Tương tự nếu \(a = 0\) hoặc \(b = 0\), sẽ có các nghiệm tương tự.
Tổng hợp nghiệm:
\(\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , \sqrt{3} , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , - \sqrt{3} , 0 \left.\right) , \ldots\)
Tham khảo