Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐK \(k\left(k-p\right)\ge0\)
Để \(\sqrt{k^2-pk}\)là số nguyên
=> \(k\left(k-p\right)\)là số chính phương
Gọi UCLN của k và k-p là d
=> \(\hept{\begin{cases}k⋮d\\k-p⋮d\end{cases}}\)
=> \(p⋮d\)
Mà p là số nguyên tố
=> \(\orbr{\begin{cases}p=d\\d=1\end{cases}}\)
+ \(p=d\)=> \(k⋮p\)=> \(k=xp\left(x\in Z\right)\)
=> \(xp\left(xp-p\right)=p^2x\left(x-1\right)\)là số chính phương
=> \(x\left(x-1\right)\)là số chính phương
Mà \(x\left(x-1\right)\)là tích của 2 số nguyên liên tiếp
=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}k=0\\k=p\end{cases}}\)
+\(d=1\)
=>\(\hept{\begin{cases}k=a^2\\k-p=b^2\end{cases}\left(a>b\right)}\)
=> \(p=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
=> \(\hept{\begin{cases}a+b=p\\a-b=1\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{p+1}{2}\\b=\frac{p-1}{2}\end{cases}}\)
=> \(k=\frac{\left(p+1\right)^2}{4}\)với p lẻ
Vậy \(k=0\)hoặc k=p hoặc \(k=\frac{\left(p+1\right)^2}{4}\forall plẻ\)
\(\sqrt{k^2-pk}\) là số nguyên dương => \(k^2-pk>0\Rightarrow k>p\)
Khang chú ý là sẽ không xảy ra k=0 hoặc k=p nhé!
Ta có : \(\left[p\left(2p+1\right)\right]^2< 4\left(p^4+p^3+p^2+p+1\right)< \left[p\left(2p+1\right)+2\right]^2\)
Suy ra \(4\left(p^4+p^3+p^2+p+1\right)=\left[p\left(2p+1\right)+1\right]^2\) (số kẹp giữa)
Vậy \(\sqrt{p^4+p^3+p^2+p+1}=\frac{p\left(2p+1\right)+1}{2}\) là một số hữu tỉ.
Xửa đề:
\(\frac{x-y\sqrt{2015}}{y-z\sqrt{2015}}=\frac{m}{n}\) (vơi m, n thuộc Z)
\(\Leftrightarrow xn-ym=\left(yn-zm\right)\sqrt{2015}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xn-ym=0\\yn-zm=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{m}{n}=\frac{y}{z}\)
\(\Rightarrow xz=y^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+2xz+z^2-y^2=\left(x+z+y\right)\left(x+z-y\right)\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=1\left(l\right)\\x+z-y=1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x+z=y+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xz+z^2=y^2+2y+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+\left(y-1\right)^2+z^2=2\)
\(\Rightarrow x=y=z=1\)
.Các cặp số nguyên tố (p,q) thỏa mãn là [2,3] và [ 3,5]
.