Question

[Trần Minh Hiển]

Tìm các số tự nhiên n sao cho \(23^n+1971\) là số chính phương

Diễn giải cách làm nhé

Answer 1

[bach nhac lam]

+ TH1: n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\left(k\in N\right)\)

+ Ta có : \(23\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow23^{2k+1}\equiv2^{2k+1}\left(mod3\right)\)

+ \(2^{2k+1}=4^k+1=\left(3+1\right)^k\cdot2=\left(B\left(3\right)+1\right)\cdot2=B\left(3\right)+2\)

\(\Rightarrow23^{2k+1}\) chia 3 dư 2 \(\Rightarrow A=23^{2k+1}+1971\) chia 3 dư 2

=> A ko là scp

+ TH2: n chẵn \(\Rightarrow n=2k\left(k\in N\right)\)

Đặt \(A=23^n+1971=a^2\) ( \(a\in N\)*)

\(\Rightarrow23^{2k}+1971=a^2\Rightarrow a^2-23^{2k}=1971\)

\(\Rightarrow\left(a+23^k\right)\left(a-23^k\right)=1971\)

Đến đây xets các TH là được