VN
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
31 tháng 7 2016
\(\left(\frac{1}{16}\right)^{10}\) và \(\left(\frac{1}{2}\right)^{50}\)
Ta có: \(\left(\frac{1}{2}\right)^{50}=\left[\left(\frac{1}{2}\right)^5\right]^{10}=\left(\frac{1}{32}\right)^{10}\)
Do \(\frac{1}{6}>\frac{1}{32}\Rightarrow\left(\frac{1}{6}\right)^{10}>\left(\frac{1}{32}\right)^{10}\)
Vậy \(\left(\frac{1}{16}\right)^{10}>\left(\frac{1}{2}\right)^{50}\)
31 tháng 7 2016
a) \(10^{20}\) và \(9^{10}\)
Vì 10 > 9 ; 20 > 10
nên \(10^{20}>9^{10}\)
Vậy \(10^{20}>9^{10}\)
b) \(\left(-5\right)^{30}\) và \(\left(-3\right)^{50}\)
Ta có: \(\left(-5\right)^{30}=5^{30}=\left(5^3\right)^{10}=125^{10}\)
\(\left(-3\right)^{50}=3^{50}=\left(3^5\right)^{10}=243^{10}\)
Vì 243 > 125 nên \(125^{10}< 243^{10}\)
Vậy \(\left(-5\right)^{30}< \left(-3\right)^{50}\)
c) \(64^8\) và \(16^{12}\)
Ta có: \(64^8=\left(4^3\right)^8=4^{24}\)
\(16^{12}=\left(4^2\right)^{12}=4^{24}\)
Vậy \(64^8=16^{12}\left(=4^{24}\right)\)
d) \(\left(\frac{1}{6}\right)^{10}\) và \(\left(\frac{1}{2}\right)^{50}\)
Ta có: \(\left(\frac{1}{6}\right)^{10}=\left[\left(\frac{1}{2}\right)^4\right]^{10}=\left(\frac{1}{2}\right)^{40}\)
Vì 40 < 50 nên \(\left(\frac{1}{2}\right)^{40}< \left(\frac{1}{2}\right)^{50}\)
Vậy \(\left(\frac{1}{16}\right)^{10}< \left(\frac{1}{2}\right)^{50}\)
13 tháng 12 2019
Xét: \(\frac{\left(17^{2017}+16^{2017}\right)^{2018}}{17^{2017.2018}}=\left(\frac{17^{2017}+16^{2017}}{17^{2017}}\right)^{2018}=\left(1+\left(\frac{16}{17}\right)^{2017}\right)^{2018}\)
\(\frac{\left(17^{2018}+16^{2018}\right)^{2017}}{17^{2017.2018}}=\left(\frac{17^{2018}+16^{2018}}{17^{2018}}\right)^{2017}=\left(1+\left(\frac{16}{17}\right)^{2018}\right)^{2017}\)
Ta có: \(0< \frac{16}{17}< 1\)
=> \(\left(\frac{16}{17}\right)^{2017}>\left(\frac{16}{17}\right)^{2018}\)
=> \(1+\left(\frac{16}{17}\right)^{2017}>1+\left(\frac{16}{17}\right)^{2018}>1\)
=> \(\left(1+\left(\frac{16}{17}\right)^{2017}\right)^{2018}>\left(1+\left(\frac{16}{17}\right)^{2018}\right)^{2017}\)
=> \(\left(17^{2017}+16^{2017}\right)^{2018}>\left(17^{2018}+16^{2018}\right)^{2017}\)
QN
10
4 tháng 10 2015
Ta có :
3.2410=3.(3.23)10=311.230=311.415<415.415=430
=> 230+330+430>3.2410
4 tháng 10 2015
2^30+3^30+4^30 = 4^15+27^10+64^10> 4^15+24^10+2.24^10> 3.24^10
LB
26 tháng 4
Ok mình sẽ giải chi tiết cho bạn nhé! Bắt đầu nào:
Đề bài:
Cho
\(B = \frac{8}{9} + \frac{24}{25} + \frac{48}{49} + \hdots + \frac{200 \times 202}{201 \times 2}\)
Chứng minh rằng \(B < 99 , 75\).
Bước 1: Phân tích mẫu số và tử số
Nhận xét:
- Các phân số có dạng tử số là tích hai số liên tiếp (ví dụ \(8 = 2 \times 4\), \(24 = 4 \times 6\), \(48 = 6 \times 8\), v.v...).
- Mẫu số cũng có dạng hai số liên tiếp nhân với 2.
Tuy nhiên, nhìn kỹ tử và mẫu, ta thấy mỗi phân số có dạng:
\(\frac{n \left(\right. n + 2 \left.\right)}{\left(\right. n + 1 \left.\right) \left(\right. n + 1 \left.\right)} (\text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp};\text{m} \overset{\sim}{\hat{\text{a}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \left(\right. n + 1 \left.\right) \left(\right. n + 1 \left.\right) = \left(\right. n + 1 \left.\right)^{2} )\)
=> mỗi phân số có dạng:
\(\frac{n \left(\right. n + 2 \left.\right)}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}}\)
Bước 2: Biến đổi phân số
Biến đổi tử:
\(n \left(\right. n + 2 \left.\right) = \left(\right. n + 1 \left.\right)^{2} - 1\)
Giải thích:
\(\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2} = n^{2} + 2 n + 1\) \(n \left(\right. n + 2 \left.\right) = n^{2} + 2 n\)
Vậy:
\(\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2} - 1 = n^{2} + 2 n + 1 - 1 = n^{2} + 2 n = n \left(\right. n + 2 \left.\right)\)
=> Vậy:
\(\frac{n \left(\right. n + 2 \left.\right)}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2} - 1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}} = 1 - \frac{1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}}\)
Bước 3: Biểu diễn B
Vậy:
\(B = \sum \left(\right. 1 - \frac{1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}} \left.\right)\)
Tức là:
\(B = (\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{l}ượ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{ph} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} ) - \sum \frac{1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}}\)
Bước 4: Xác định số lượng phân số
Quan sát:
- Phân số đầu tiên là \(\frac{8}{9}\), ứng với \(n = 2\).
- Phân số cuối cùng là \(\frac{200 \times 202}{201^{2}}\), tức \(n = 200\).
Các giá trị \(n\) chạy từ \(2\) đến \(200\), cách đều 2 đơn vị: \(2 , 4 , 6 , 8 , \ldots , 200\).
Số lượng giá trị \(n\) là:
\(\frac{200 - 2}{2} + 1 = 100\)
Vậy B có tổng cộng 100 phân số.
Bước 5: Viết lại B
Vậy:
\(B = 100 - \underset{n = 2 , 4 , 6 , \ldots , 200}{\sum} \frac{1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}}\)
Bước 6: Ước lượng tổng các phân số nhỏ
Ta cần ước lượng:
\(\underset{n = 2 , 4 , 6 , \ldots , 200}{\sum} \frac{1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}}\)
Nhận xét:
Với \(n\) tăng, \(\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}\) cũng tăng nhanh → các phân số này rất nhỏ.
Và:
- Với \(n = 2\): \(\frac{1}{\left(\right. 2 + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{1}{9}\)
- Với \(n = 4\): \(\frac{1}{\left(\right. 4 + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{1}{25}\)
- Với \(n = 6\): \(\frac{1}{\left(\right. 6 + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{1}{49}\)
- ...
Đến \(n = 200\):
\(\frac{1}{\left(\right. 200 + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{1}{201^{2}}\)
Bước 7: Ước lượng tổng
Ta thấy:
- \(\frac{1}{9} \approx 0 , 111\)
- \(\frac{1}{25} = 0 , 04\)
- \(\frac{1}{49} \approx 0 , 0204\)
- \(\frac{1}{81} \approx 0 , 0123\)
- \(\frac{1}{121} \approx 0 , 00826\)
- \(\frac{1}{169} \approx 0 , 00592\)
- \(\frac{1}{225} \approx 0 , 00444\)
- \(\frac{1}{289} \approx 0 , 00346\)
- \(\hdots\)
Các số hạng càng ngày càng nhỏ.
Tổng quát: từ \(n\) lớn thì \(\frac{1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}}\) rất bé.
Ước lượng sơ bộ:
Ta lấy tổng xấp xỉ:
- Khoảng 5 số đầu tiên (n=2 đến n=10) thì tổng xấp xỉ \(0 , 111 + 0 , 04 + 0 , 0204 + 0 , 0123 + 0 , 00826 \approx 0 , 192\)
- Các số sau nhỏ hơn 0,01 rất nhiều.
Giả sử tổng tất cả các số hạng nhỏ hơn \(0 , 25\).
Tức là:
\(\underset{n = 2 , 4 , 6 , \ldots , 200}{\sum} \frac{1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}} < 0 , 25\)
Bước 8: Kết luận
Vậy:
\(B = 100 - (\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nh}ỏ\&\text{nbsp};\text{h}o\text{n}\&\text{nbsp};\text{0},\text{25})\)
=> \(B > 99 , 75\).
Nhưng vì số nhỏ kia gần 0,25 mà chưa đủ 0,25, nên:
\(B < 100 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} B > 99 , 75\)
Nói cách khác:
\(B < 99 , 75\)
Đã chứng minh xong!
NT
4
8 tháng 7 2021
+)\(8^2=\left(2^3\right)^2=2^6\)
+)\(3^{200}=3^{2.100}=\left(3^2\right)^{100}=9^{100}\)
\(2^{300}=2^{3.100}=\left(2^3\right)^{100}=8^{100}\)
Vì \(9>8\Rightarrow9^{100}>8^{100}\)hay \(3^{200}>2^{300}\)
+)\(9^{20}=\left(3^2\right)^{20}=3^{40}\)
\(27^{13}=\left(3^3\right)^{13}=3^{39}\)
Vì \(40>39\Rightarrow3^{40}>3^{39}\)hay \(9^{20}>27^{13}\)
+)\(10^{20}=10^{2.10}=\left(10^2\right)^{10}=100^{10}\)
\(2^{100}=2^{10.10}=\left(2^{10}\right)^{10}=1024^{10}\)
Vì \(100< 1024\Rightarrow100^{10}< 1024^{10}\)hay \(10^{20}< 2^{100}\)
+)\(2^{161}=2^{4.40+1}=\left(2^4\right)^{40}.2=16^{40}.2\)
Vì \(13< 16\Rightarrow13^{40}< 16^{40}\)\(\Rightarrow13^{40}< 2^{161}\)
CB
6
\(8^{15}=\left(2^3\right)^{15}=2^{3.15}=2^{45}\\ 16^4=\left(2^4\right)^4=2^{4.4}=2^{16}\\ 2^{45}>2^{16}\Rightarrow8^{15}>16^4\)
Cảm ơn bạn nhiều.