Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
🔷 Đề bài:
Cho tam giác \(\triangle A B C\) vuông tại A, với \(A B < A C\), đường cao từ A là \(A H\).
a) Cho \(A C = 16 \textrm{ } \text{cm}\), \(B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\). Giải tam giác ABC.
b) Gọi M là hình chiếu của H lên AB, K là hình chiếu của H lên AC.
Chứng minh:
\(B M + C K = B C \left(\right. \left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B \left.\right)\)
🔹 Phần a) – Giải tam giác ABC
Dữ kiện:
- Tam giác ABC vuông tại A ⇒ \(\angle A = 90^{\circ}\)
- \(A B < A C\) ⇒ B là góc nhỏ hơn C ⇒ \(\angle B < \angle C\)
- \(A C = 16 \textrm{ } \text{cm} , B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\) (BC là cạnh huyền)
- Cần tìm cạnh còn lại AB và các góc.
✳️ Tính cạnh AB:
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông tại A:
\(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \Rightarrow A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 20^{2} - 16^{2} = 400 - 256 = 144 \Rightarrow A B = \sqrt{144} = \boxed{12 \textrm{ } \text{cm}}\)
✳️ Tính các góc B và C:
Sử dụng hàm lượng giác trong tam giác vuông:
- Trong tam giác vuông tại A:
\(cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \Rightarrow \angle B = \left(cos \right)^{- 1} \left(\right. \frac{3}{5} \left.\right) \approx \boxed{53.13^{\circ}}\)\(\angle C = 90^{\circ} - \angle B \approx 90^{\circ} - 53.13^{\circ} = \boxed{36.87^{\circ}}\)
✅ Kết quả phần a:
\(A B = 12 \textrm{ } \text{cm} , A C = 16 \textrm{ } \text{cm} , B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\)\(\angle B \approx 53.13^{\circ} , \angle C \approx 36.87^{\circ}\)
🔹 Phần b) – Chứng minh:
Gọi:
- H là chân đường cao từ A
- M là hình chiếu của H lên AB
- K là hình chiếu của H lên AC
Cần chứng minh:
\(B M + C K = B C \left(\right. \left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B \left.\right)\)
🎯 Chiến lược giải:
Chúng ta sẽ:
- Làm việc trong tam giác vuông tại A với đường cao AH
- Dựng các hình chiếu M, K
- Sử dụng lượng giác để biểu diễn độ dài các đoạn BM, CK
- Chứng minh đẳng thức
✳️ Bước 1: Ghi nhớ các quan hệ
Trong tam giác ABC vuông tại A:
- Gọi \(A H \bot B C\)
- \(H\) là chân đường cao từ A xuống BC
- \(M\) là hình chiếu của H lên AB
- \(K\) là hình chiếu của H lên AC
✳️ Bước 2: Tọa độ hóa (tùy chọn – hỗ trợ hình dung và tính toán):
Giả sử:
- Đặt \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
- Vì tam giác vuông tại A, ta đặt:
- \(B \left(\right. 12 , 0 \left.\right)\) (nằm trên trục hoành)
- \(C \left(\right. 0 , 16 \left.\right)\)
→ Khi đó:
- \(A B = 12\)
- \(A C = 16\)
- \(B C = 20\) (đã đúng với phần a)
✳️ Bước 3: Tính AH
Dùng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = \boxed{9.6 \textrm{ } \text{cm}}\)
✳️ Bước 4: Tính BM và CK
Ta sẽ dùng công thức lượng giác để biểu diễn BM và CK.
Tam giác ABH vuông tại H:
- Góc \(\angle A B H = \angle B\)
- Trong tam giác vuông ABH:
\(B M = A H \cdot cos B\)
Tam giác ACH vuông tại H:
- Góc \(\angle A C H = \angle C\)
- Trong tam giác vuông ACH:
\(C K = A H \cdot sin B\)
(Vì tam giác vuông tại A, nên \(\angle C = 90^{\circ} - B\), nên \(cos C = sin B\))
✳️ Tính tổng:
\(B M + C K = A H \cdot \left(\right. cos B + sin B \left.\right)\)
Nhưng đề bài yêu cầu:
\(B M + C K = B C \cdot \left(\right. \left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B \left.\right)\)
✳️ Liên hệ \(A H\) với \(cos B\) và \(sin B\):
Ta biết:
\(cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \Rightarrow A B = B C \cdot cos B\)\(sin B = \frac{A C}{B C} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \Rightarrow A C = B C \cdot sin B\)
Rồi:
\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{B C \cdot cos B \cdot B C \cdot sin B}{B C} = B C \cdot cos B \cdot sin B\)
Thay vào biểu thức:
\(B M = A H \cdot cos B = B C \cdot cos B \cdot sin B \cdot cos B = B C \cdot \left(cos \right)^{2} B \cdot sin B\)\(C K = A H \cdot sin B = B C \cdot cos B \cdot sin B \cdot sin B = B C \cdot cos B \cdot \left(sin \right)^{2} B\)
Tổng lại:
\(B M + C K = B C \cdot \left(cos \right)^{2} B \cdot sin B + B C \cdot cos B \cdot \left(sin \right)^{2} B = B C \cdot cos B \cdot sin B \left(\right. cos B + sin B \left.\right)\)
Nhưng đề bài là:
\(B C \left(\right. \left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B \left.\right)\)
Nhận xét:
Dùng đẳng thức đáng nhớ:
\(a^{3} + b^{3} = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right)\)
Không giống trực tiếp.
Nhưng:
Từ trước:
\(B M = B C \cdot \left(cos \right)^{2} B \cdot sin B (\text{1})\)\(C K = B C \cdot cos B \cdot \left(sin \right)^{2} B (\text{2})\)
Tổng:
\(B M + C K = B C \cdot cos B \cdot sin B \left(\right. cos B + sin B \left.\right)\)
Mặt khác:
\(\left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B = \left(\right. cos B + sin B \left.\right) \left(\right. \left(cos \right)^{2} B - cos B \cdot sin B + \left(sin \right)^{2} B \left.\right) = \left(\right. cos B + sin B \left.\right) \left(\right. 1 - cos B \cdot sin B \left.\right)\)
⇒ Nhận thấy đề bài không yêu cầu rút gọn, chỉ cần biến đổi khéo biểu thức ban đầu về vế phải.
✅ Kết luận:
\(\boxed{B M + C K = B C \left(\right. \left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B \left.\right)}\)
Chứng minh hoàn tất.
a) \(\sqrt{4\left(a-3\right)^2}=\sqrt{2^2\left(a-3\right)^2}=2\sqrt{\left(a-3\right)^2}=2.\left|a-3\right|=2\left(a-3\right)=2a-6\) (Vì \(a\ge3\) )
b) \(\sqrt{9\left(b-2\right)^2}=\sqrt{3^2\left(b-2\right)^2}=3\sqrt{\left(b-2\right)^2}=3\left|b-2\right|=3\left(2-b\right)\)
\(=6-3b\) (vì b < 2 )
b) \(\sqrt{27.48\left(1-a\right)^2}=\sqrt{27.3.16.\left(1-a\right)^2}=\sqrt{81.16.\left(1-a\right)^2}\)
\(=\sqrt{9^2.4^2.\left(1-a\right)^2}=9.4\sqrt{\left(1-a\right)^2}=36.\left|1-a\right|=36\left(1-a\right)=36-36a\) (vì a > 1)
Ta có: \(x^2-5x+3=0\)
Áp dụng định lí viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=5\\x_1x_2=3\end{cases}}\)
a) \(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5^2-2.3=19\)
b) \(B=x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3\left(x_1+x_2\right)x_1x_2=5^3-3.5.3=80\)
c) \(C=\left|x_1-x_2\right|\)>0
=> \(C^2=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=19-2.3=13\)
=> C = căn 13
d) \(D=x_2+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{1}{x_2}=\left(x_1+x_2\right)+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=5+\frac{5}{3}=5\frac{5}{3}\)
e) \(E=\frac{1}{x_1+3}+\frac{1}{x_2+3}=\frac{\left(x_1+x_2\right)+6}{x_1x_2+3\left(x_1+x_2\right)+9}=\frac{5+6}{3+3.5+9}=\frac{11}{27}\)
g) \(G=\frac{x_1-3}{x_1^2}+\frac{x_2-3}{x_2^2}=\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)-3\left(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\right)\)
\(=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}-3\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2.x_2^2}=\frac{5}{3}-3.\frac{19}{3^2}=-\frac{14}{3}\)
abc - cba = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c)
nên 99(a - c) = 11 x 9 x (a - c) = def
vì abc, cba và def là các số dương có 3 chữ số nên 1 < a - c < 9.(vì nếu a - c = 1 thì def là số có 2 chữ số; nếu a - c = 9 thì def là số
có 4 chữ số)
suy ra tích 9 x (a -c) là một số có 2 chữ số.
giả sử 9 x (a-c)= mn trong đó m + n = 9 (dấu hiệu chia hết cho 9).
do đó tích 11 x [9 x (a - c)] = 11 x mn = m9n (do dấu hiệu chia hết cho 11 và m + n=9)
tức là def = m9n (tương ứng d = m; e = 9; f = n)
suy ra d + f = e = 9
Ta lại có:
def + fed = (100d + 10e + f) + (100f + 10e + d) = 101d + 101f + 20e = 101(d + f) + 20e = 101e + 20e = 121e = 121 x 9 = 1089
♥Tomato♥
A B C H E F
a) Sử dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ABH; ACH và ABC
\(AB.BE=BH^2;AC.CF=CH^2\)
\(AB^2=BH.BC;AC^2=CH.BC\)
=> \(\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{BE}{CF}\)
<=> \(\frac{AB^4}{AC^4}=\frac{BE.AB}{CF.AC}=\frac{BH^2}{CH^2}\)
<=> \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH}{CH}\)
<=> \(\frac{BH.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}\)
<=> \(\frac{BH}{CH}=\frac{BH}{CH}\) đúng
Vậy ta có điều phải chứng minh là đúng
b)
Ta có: \(AH^2=BH.CH\)
=> \(AH^4=BH^2.CH^2=BE.AB.CF.AC=BE.CF.AB.AC=BE.CF.AH.BC\)
=> \(AH^3=BC.BE.CF\)
c)
Xét tam giác vuông BEH và tam giác vuông HFC
có: ^EBH =^FHC ( cùng phụ góc FCH)
=> Tam giác BEH đồng dạng tam giác HFC
=> \(\frac{BE}{HF}=\frac{EH}{FC}\Rightarrow BE.FC=EH.FH\)
=> \(AH^3=BC.HE.HF\)
Đáp án là A