Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\).
Theo giả thiết ta có \(\widehat{OAH}=30^0\)
Do đó : \(HA=OA\cos30^0=r\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\overrightarrow{AB}=\left(-1;-2;1\right)\); \(\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left(2;-1;2\right)\)\(\Rightarrow\overrightarrow{n_p}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{\alpha}}\right]=\left(-3;4;5\right)\)
Phương trình mặt phẳng (P) : \(-3x+4y+5z=0\)
\(R=d\left(A;\left(\alpha\right)\right)=\frac{\left|6-1+2+1\right|}{\sqrt{9}}=\frac{8}{3}\)
Phương trình mặt cầu (S) : \(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=\frac{64}{9}\)
Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với (ABCD)
Khi đó d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
Gọi H là trung điểm của cạnh SA
Trong mặt phẳng (SAO) đường trung trực của đoạn SA cắt đường thẳng SO tại I , ta có: \(\Delta SAO\) đòng dạng \(\Delta SIH\)
\(\Rightarrow\dfrac{SA}{SO}=\dfrac{SI}{SH}\Leftrightarrow SI=\dfrac{SA.SH}{SO}=\dfrac{SA^2}{2SO}\)
Mà \(SA^2=SO^2+OA^2=\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{3a^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
Khi đó \(SI=\dfrac{3a^2}{\dfrac{4}{2.\dfrac{a}{2}}}=\dfrac{3a}{4}\)
Mặt khác \(\left\{{}\begin{matrix}IS=IA\\IA=IB=IC=ID\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow IS=IA=IB=IC=ID=\dfrac{3a}{4}\)
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và bán kính \(R=SI=\dfrac{3a}{4}\)
Diện tích mặt cầu là: \(S=4\pi R^2=4\pi.\left(\dfrac{3a}{4}\right)^2=\dfrac{9\pi\pi^2}{4}\)
Thể tích khối cầu là: \(V=\dfrac{4}{3}\pi R^2=\dfrac{4}{3}\pi.\left(\dfrac{3a}{4}\right)^2=\dfrac{9\pi\pi^2}{16}\)
Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng :
\(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\)
Vì \(A\in\left(S\right)\) nên ta có : \(1-2a+d=0\left(1\right)\)
\(A\in\left(S\right)\) nên ta có : \(4+4b+d=0\left(2\right)\)
\(\overrightarrow{OA}=\left(0;4;3\right)\Rightarrow R=OA=\sqrt{0+4^2+3^2}=5\)
Diện tích mặt cầu: \(S=4\pi R^2=100\pi\)