C
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TA
9 tháng 10 2020
\(xy+yz+xz\ge x+y+z\)
\(min=1\); \(x=1,y=1,z=1\); \(x=2,y=2,z=2\)thỏa mãn đk: \(xy+yz+xz\ge x+y+z\)
\(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{1^3+8}}+\frac{1}{\sqrt{1^3+8}}+\frac{1}{\sqrt{1^3+8}}\ge1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{1^3+8}}3\ge1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{1+8}}3\ge1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{9}}3\ge1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{3}3\ge1\)(đk :\(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^3}{\sqrt{z^3+8}}\ge1\))
KN
10 tháng 10 2020
Ta có đánh giá quen thuộc sau: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)kết hợp giả thiết \(xy+yz+zx\ge x+y+z\)suy ra \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x+y+z\right)\Rightarrow xy+yz+zx\ge x+y+z\ge3\)
Dùng bất đẳng thức Bunyakosky dạng phân thức xét vế trái của bất đẳng thức:
\(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{\left(y+2\right)\left(y^2-2y+4\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{\left(z+2\right)\left(z^2-2z+4\right)}}\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}+\frac{2y^2}{y^2-y+6}+\frac{2z^2}{z^2-z+6}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+6-\left(x+y+z\right)+12}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)-\left(x+y+z\right)+12}=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}\)Đặt x + y + z = t ≥ 3 xét\(\frac{2t^2}{t^2-t+12}-1=\frac{t^2+t-12}{t^2-t+12}=\frac{\left(t+4\right)\left(t-3\right)}{t^2-t+12}\ge0\)(đúng với mọi t ≥ 3)
Như vậy, \(\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}\ge1\)hay \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge1\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 9 2019
\(A=\frac{3x}{4}+\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\ge\frac{3x}{4}+2\sqrt{\frac{x}{4x}}\ge\frac{3.2}{4}+1=\frac{5}{2}\)
\(A_{min}=\frac{5}{2}\) khi \(x=2\)
\(B=\frac{24x}{25}+\frac{x}{25}+\frac{1}{x}\ge\frac{24x}{25}+2\sqrt{\frac{x}{25x}}\ge\frac{24.5}{25}+\frac{2}{5}=\frac{26}{5}\)
\(B_{min}=\frac{26}{5}\) khi \(x=5\)
Câu C bạn coi lại đề, nếu đúng thế này thì ko tồn tại min
11 tháng 9 2017
chẳng hiểu
Nguyễn Huy Thắng chuyện gì thế (xem hộ hả)
?
(1) không phải thấy x,y >0 mà phải lập luận x,y>0 ;
hoặc ít nhất phải ghi dẽ dàng c/m được x,y <=0 vô nghiệm => x,y >0
11 tháng 9 2017
\(x;y=0\) nhỏ hơn 0
\(x=y=-1\) <2
\(x,y<-2\) thì \(2^x;4^y\) là phân số <32
x,y càng lớn thì \(2^x;4^y\) là phân số càng bé <32
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 2 2018
Lời giải:
Đặt biểu thức đã cho là $A$
\(A=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow A^2=x^2+y^2+xy+2\sqrt{xy(x^2+y^2)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^2+y^2\geq 2xy\Rightarrow 2\sqrt{xy(x^2+y^2)}\geq 2\sqrt{xy.2xy}\geq xy\) do \(x,y\geq 0\)
\(\Rightarrow A^2\geq x^2+y^2+xy+xy\Leftrightarrow A^2\geq (x+y)^2=4\)
\(\Leftrightarrow A\geq 2\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \((x,y)=(2,0)\) và hoán vị.
Mặt khác:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(A^2=(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy})^2\leq (x^2+y^2+2xy)(1+\frac{1}{2})\)
\(\Leftrightarrow A^2\leq (x+y)^2.\frac{3}{2}=4.\frac{3}{2}=6\)
\(\Leftrightarrow A\leq \sqrt{6}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \((x,y)=\left(\frac{3+\sqrt{3}}{3}; \frac{3-\sqrt{3}}{3}\right)\)
11 tháng 2 2018
cách làm cho lớp 9
\(2=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le1\)
\(x;y\ge0\Rightarrow xy\ge0\) \(0\le xy\le1\)
đặt x y =t => 0<=t<=1
\(A=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}=\sqrt{4-2t}+\sqrt{t}\)
\(A>0;A^2=4-t+2\sqrt{4t-2t^2}\)
m =A^2 -4 \(\Leftrightarrow m+t=\sqrt{4t-2t^2}\)
m +t >= 0=> m>=-1
\(\Leftrightarrow m^2+2mt+t^2=4\left(4t-2t^2\right)\)
\(9t^2+2\left(m-8\right)t+m^2=0\)
\(\Delta'\ge0\Leftrightarrow\left(m-8\right)^2-9m^2\ge0\Rightarrow-8m^2-2.8m+64\ge0\)
\(-4\le m\le2\)
với m =2 => t=2/3 đảm bảo điều kiện => GTLN m =2
m cần đảm bảo điều kiện
m+t>=0
\(\Leftrightarrow m+\dfrac{-\left(m-8\right)-\sqrt{-8m^2-18m+64}}{9}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{9m-\left(m-8\right)-\sqrt{-8m^2-18m+64}}{9}\ge0\)
\(\Leftrightarrow8m+8\ge\sqrt{-8m^2-18m+64}\)
m>=-1 => 8m+8 >=0
\(\Leftrightarrow64m^2+2.8.8m+64\ge-8m^2-18m+64\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-2\\m\ge0\end{matrix}\right.\) đang xét m>=1 => m>=0
=> \(0\le m\le2\)
\(0\le A^2-4\le2\Leftrightarrow4\le A^2\le6\)
\(A>0\Rightarrow2\le A\le\sqrt{6}\) =>dpcm
đẳng thức khi t =0 ; t=2/3
\(t=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x;y\right)=\left(2;0\right)\\\left(x;y\right)=\left(0;2\right)\end{matrix}\right.\)
\(t=\dfrac{2}{3}\) giải hệ
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
x;y là nghiệm pt : \(3z^2-6z+2=0\)
\(\Delta=9-6=3\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3\pm\sqrt{3}}{3};\dfrac{3\mp\sqrt{3}}{3}\right)\)
Điều kiện: x+y>0x+y>0.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
(x+y)[(x+y)2−2xy]+8xy=16(x+y)(x+y)[(x+y)2−2xy]+8xy=16(x+y)
⇔(x+y)3−16(x+y)−2xy(x+y)+8xy=0⇔(x+y)3−16(x+y)−2xy(x+y)+8xy=0
⇔(x+y)[(x+y)2−16]−2xy(x+y−4)=0⇔(x+y)[(x+y)2−16]−2xy(x+y−4)=0
⇔(x+y)(x+y−4)(x+y+4)−2xy(x+y−4)=0⇔(x+y)(x+y−4)(x+y+4)−2xy(x+y−4)=0
⇔(x+y−4)[(x+y)(x+y+4)−2xy]=0⇔(x+y−4)[(x+y)(x+y+4)−2xy]=0
Dox+y>0⇒(x+y)(x+y+4)−2xy=x2+y2+4(x+y)>0x+y>0⇒(x+y)(x+y+4)−2xy=x2+y2+4(x+y)>0
Suy ra: x+y−4=0x+y−4=0. Từ đó kết hợp với phương trình thứ hai của hệ ta tìm được nghiệm.