Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử \(\Delta\)ABC có H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (giao điểm của ba đường trung trực), M là trung điểm của BC, ta đi chứng minh AH = 2OM
Vẽ đường kính AD
Ta có: OA = OC (tính chất của điểm thuộc đường trung trực), kết hợp với OA = OD (do AD là đường kính của đường tròn tâm O) suy ra OA = OC = OD =>\(\Delta\)ACD vuông tại C => AC\(\perp\)CD, mà BH\(\perp\)CD suy ra BH // CD (*)
Chứng minh tương tự: CH // BD (**)
Từ (*) và (**) suy ra BHCD là hình bình hành có M là trung điểm của BC suy ra M cũng là trung điểm của HD
\(\Delta\)AHD có O là trung điểm của AD, M là trung điểm của HD suy ra OM là đường trung bình của tam giác => AH = 2OM (đpcm)
Vậy trong mọi tam giác, khoảng cách từ trực tâm tới mỗi đỉnh gấp đôi khoảng cách từ giao ba đường trung trực tới cạnh đối diện.
a) giao điểm của các đường phân giác
b) M≡T (điểm T được gọi là điểm Toricenli của tam giác ABC).
hoặc M≡B
nếu bạn nói M trùng B thì phải nói rõ điều kiện đặt cho 3 cạnh của tam giác
Bài giải
A B C D H K E
Gọi \(AH ∩ BC=D,AK∩ BC=E\)
Xét \(\Delta ABD\) có BH là phân giác \(\widehat{ABD}\), \(AH\perp BH\)\(\Rightarrow\) \(BH\perp AD\)
\(\Rightarrow\text{ }\Delta ABD\) cân tại B \(\Rightarrow\text{ }BA=BD\text{, }H\) là trung điểm AD
Tương tự \(CA=CE\) , K là trung điểm AE
\(\Rightarrow\)HK là đường trung bình
\(\Rightarrow\text{ }HK=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\left(DB+BC+CE\right)=\frac{1}{2}\left(AB+BC+CA\right)=\frac{1}{2}V_{\Delta ABC}\)
\(\Rightarrow\text{ ĐPCM}\)
Gọi 2 tia phân giác ngoài của đỉnh B và C lần lượt là F và E
Gọi giao của AB với HK là G, của AC với HK là M
Gọi giao của BC với AK và AH lần lượt là N và O
Xét tam giác ABO
Có BH là đường cao (BH vuông góc với AO)
BH là phân giác của góc ABO
suy ra tam giác ABO cân tại B (dhnb tam giác cân)
suy ra BH là trung tuyến của tam giác ABO (t/c tam giác cân)
hay H là trung điểm AO
CM tương tự với tam giác ACN
suy ra Ck là trung tuyến của tam giác ACN(t/c)
hay K là trung điểm AN
Xét tam giác AON
có K là trung điểm AN
H là trung điểm AO
suy ra HK//ON
hay GM//BC và MK//CN
Xét tam giác ACN
có K là trung điểm AN
MK//CN
suy ra AM=MC( t/c đường trung bình tam giác)
Xét tam giác ABC có
AM=MC
GM//BC
suy ra GM=1/2 BC và AG=GB (t/c đường trung bình tam giác)
Xét tam giác vuông AHB
có HG là trung tuyến (AG=GB)
AB là cạnh huyền
suy ra HG=1/2 AB (t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Cm tương tự với tam giác ACK
suy ra MK=1/2 AC
Có HG+GM+MK=1/2AB+1/2BC+1/2AC
mà AB+AC+BC là chu vi tam giác ABC
suy ra HK =1/2 chu vi tam giác ABC
Gọi H là trực tâm tam giác ABC và O là giao 3 đường trung trực của tg ABC
=> O là tâm đường tròng ngoại tiếp tg ABC
Nối A với O kéo dài cắt (O) tại D
Xét tứ giác BHCD có
BH vuông góc AC
^ACD=90 (góc nt chắn nửa đường tròn)
=> CD vuông góc AC
=> BH//CD (BH, CD cùng vuông góc với AC) (1)
CH vuông góc AB
^ABD=90 (góc nt chắn nửa đường tròn)
=> BD vuông góc AB
=> CH//BD (CH, BD cùng vuông góc với AB) (2)
Từ (1) và (2) => BHCD là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau thì là hbh)
Gọi M là trung điểm BC => OM là đường trung trực của tg ABC thuộc cạnh BC => OM vuông góc với BC
AH vuông góc BC
=> AH//OM (cùng vuông góc với BC)
Xét hình bình hành BHCD
Do M là trung điểm của BC => M cũng là trung điểm của HD (trong hình bình hành hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
=> Áp dụng talet trong tam giác \(\Rightarrow\frac{DM}{DH}=\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2}\Rightarrow AH=2.OM\)