Question

[Nguyen Tran Tuan Hung]

CHỨNG MINH:

1^3+2^3+3^3+....+503^3 không chia hết cho 1275

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

Ta chứng minh \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)

Với n = 1, đẳng thức trên là đúng.

Giả sử đẳng thức trên là đúng với n = k, tức là ta có:

\(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là:

\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\)   (*)

Ta có \(1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Vậy nên  \(VT=\left(1+2+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3=\frac{k^2\left(k+1\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\frac{k^4+6k^3+13k^2+12k+4}{4}=\frac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}\)

\(=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2=VP\)

Vậy ta có đẳng thức \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)

Từ đó \(1^3+2^3+...+503^3=\left(1+2+...+503\right)^2\)

\(=\left[\frac{\left(1+503\right).503}{2}\right]^2=126756^2\)

Ta thấy ngay nó không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 1275.