PT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DH
17 tháng 10 2020
Câu 1:
$P=\dfrac{2x+4\sqrt x+2}{\sqrt x}$ `(đkxđ:` $x>0$)
Xét $P-6=\dfrac{2.x+4.\sqrt[]x+2}{\sqrt[]x}-6=\dfrac{2x+4.\sqrt[]x-6.\sqrt[]x+2}{\sqrt[]x}$
$=\dfrac{2.x-2.\sqrt[]x+2}{\sqrt[]x}$
$=\dfrac{2.(x-\sqrt[]x+1)}{\sqrt[]x}$
Mà $x-\sqrt[]x+1=(\sqrt[]x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0∀x>0$
$⇒2.(x-\sqrt[]x+1)>0∀x>0$
Mà $\sqrt[]x>0∀x>0$
$⇒\dfrac{2.(x-\sqrt[]x+1)}{\sqrt[]x}>0∀x>0$
hay $P-6>0⇒P>6∀x>0$ (đpcm)
Câu 2:
$P=\dfrac2{x+\sqrt x+1}$ (đkxđ: $x\ge0$)
Ta có $x+\sqrt[]x+1=(\sqrt[]x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0∀x\ge0$
$⇒P>0∀x\ge0$
Xét $P-2=\dfrac{2}{x+\sqrt[]x+1}-2=\dfrac{2-2.x-2.\sqrt[]x-2}{x+\sqrt[]x+1}=\dfrac{-2(x+\sqrt[]x)}{x+\sqrt[]x+1}$
Mà $x>0⇒\sqrt[]x>0⇒x+\sqrt[]x>0$
$⇒-2(x+\sqrt[]x)<0$
$⇒\dfrac{-2(x+\sqrt[]x)}{x+\sqrt[]x+1}<0$
$⇒P-2<0$
$⇒P<2$
Vậy $0<P<2$
12 tháng 6 2018
Bài 1. Áp dụng BĐT : ( x - y)2 ≥ 0 ∀xy
⇒ x2 + y2 ≥ 2xy
⇔ \(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\) ≥ 2
⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) ≥ 2
⇒ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)) ≥ 6 ( 1)
CMTT : \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) ≥ 2
⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ \(6\) ( 2)
Từ ( 1 ; 2) ⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\))
Đẳng thức xảy ra khi : x = y
12 tháng 6 2018
Bài 4. Do : a ≥ 4 ; b ≥ 4 ⇒ ab ≥ 16 ( * ) ; a + b ≥ 8 ( ** )
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a2 + b2 ≥ 2ab = 2.16 = 32 ( *** )
Từ ( * ; *** ) ⇒ a2 + b2 + ab ≥ 16 + 32 = 48 ( 1 )
Từ ( ** ) ⇒ 6( a + b) ≥ 48 ( 2)
Từ ( 1 ; 2 ) ⇒a2 + b2 + ab ≥ 6( a + b)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 4
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 12 2017
Bài 3:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\((2x+3y)^2\leq (2x^2+3y^2)(2+3)\)
\(\Leftrightarrow A^2\leq 5(2x^2+3y^2)\leq 5.5\)
\(\Leftrightarrow A^2\leq 25\Leftrightarrow A^2-25\leq 0\)
\(\Leftrightarrow (A-5)(A+5)\leq 0\Leftrightarrow -5\leq A\leq 5\)
Vậy \(A_{\min}=-5\Leftrightarrow (x,y)=(-1;-1)\)
\(A_{\max}=5\Leftrightarrow x=y=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 12 2017
Bài 4:
Lời giải:
\(B=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\)
\(\Rightarrow B^2=(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})^2=4+2\sqrt{(x-1)(5-x)}\)
Vì \(\sqrt{(x-1)(5-x)}\geq 0\Rightarrow B^2\geq 4\)
Mặt khác \(B\geq 0\)
Kết hợp cả hai điều trên suy ra \(B\geq 2\)
Vậy \(B_{\min}=2\).
Dấu bằng xảy ra khi \((x-1)(5-x)=0\Leftrightarrow x\in\left\{1;5\right\}\)
---------------------------------------
\(A=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\)
\(\Rightarrow A^2=2x^2+2+2\sqrt{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}\)
\(\Leftrightarrow A^2=2x^2+2+2\sqrt{(x^2+1)^2-x^2}=2x^2+2+2\sqrt{x^4+1+x^2}\)
Vì \(x^2\geq 0\forall x\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow A^2\geq 2+2\sqrt{1}\Leftrightarrow A^2\geq 4\)
Mà $A$ là một số không âm nên từ \(A^2\geq 4\Rightarrow A\geq 2\)
Vậy \(A_{\min}=2\Leftrightarrow x=0\)
12 tháng 5 2018
Đề bài sai: Khi \(x=4\) thì \(A=\dfrac{1}{2};B=\dfrac{28}{9};\dfrac{A}{B}=\dfrac{9}{56};\dfrac{x-2}{4\sqrt{x}}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{A}{B}\ne\dfrac{x-2}{4\sqrt{x}}\)
UK
11 tháng 11 2017
Từ giả thiết suy ra:
\(\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+2\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+2\right)+\left(x+y+2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+2\right)\left(2x^2+2y^2-2xy+2x+2y+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+2\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+2\right]=0\)
\(\Rightarrow x+y=-2\)
Mà xy>0 nên x,y cùng nhỏ hơn 0
Áp dụng AM-GM,ta có: \(\sqrt{\left(-x\right)\left(-y\right)}\le\dfrac{-x-y}{2}=1\)
\(\Rightarrow xy\le1\Rightarrow\dfrac{-2}{xy}\le-2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{-2}{xy}\le-2\)
N
18 tháng 3 2019
1.\(x=7+4\sqrt{3}\)
\(=\left(\sqrt{3}+2\right)^2\)
Thay x=\(\left(2+\sqrt{3}\right)^2\), ta có:
\(A=\frac{3+\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}}\)
2. \(B=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(B=\frac{-3}{2-\sqrt{x}}\left(đpcm\right)\)
3. \(\frac{B}{A}=\frac{\frac{-3}{2-\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}}=\frac{-3}{2-\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)
\(\frac{B}{A}< -1\Rightarrow\frac{3\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}< -1\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\sqrt{x}+6+x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-2\sqrt{x}+4}{x-\sqrt{x}-2}< 0\)
\(\Rightarrow x-\sqrt{x}-2< 0\)(Vì \(x-2\sqrt{x}+4>0\))
\(\Leftrightarrow-1< x< 2\)
Ta có:
x + 2 2 x - 4 = 2 + x - 2 2
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.