Question

[Big City Boy]

Chứng minh với a, b lớn hơn 0 thì: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\). Áp dụng tìm GTNN của \(B=\dfrac{x+1}{x}\) với:

TH1: x>0

TH2: \(0< x\le\dfrac{1}{4}\)

TH3: \(x\ge2\)

Answer 1

[𝓓𝓾𝔂 𝓐𝓷𝓱]

*Chứng minh bất đẳng thức

Ta có: \(\forall a,b\ge0\) thì \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\) \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)  (đpcm)

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Ta có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\forall a,b>0\)(đpcm)