Question

[Khôi Nguyên Nguyễn Vũ]

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH . Từ H kẻ HE vuông góc
với
AB , HF vuông góc với AC ( E thuộc AB , F thuộc AC ).
a) Chứng minh:  AFE ABC
b) Đường thẳng EF cắt BC tại M . Chứng minh: . .ME MF MB MC .
c) Cho biết 10AC  cm,  60 , 80BAC ABC    . Tính độ dài đoạn vuông góc hạ từ A
xuống EF (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

=>\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

Xét ΔAEF và ΔACB có

\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

góc EAF chung

Do đó: ΔAEF~ΔACB

b: ΔAEF~ΔACB

=>\(\hat{AEF}=\hat{ACB}\)

mà \(\hat{AEF}=\hat{MEB}\) (hai góc đối đỉnh)

nên \(\hat{MEB}=\hat{MCF}\)

Xét ΔMEB và ΔMCF có

\(\hat{MEB}=\hat{MCF}\)

\(\hat{EMB}\) chung

Do đó: ΔMEB~ΔMCF

=>\(\frac{ME}{MC}=\frac{MB}{MF}\)

=>\(ME\cdot MF=MB\cdot MC\)

Answer 2

[Nguyễn Hoàng Anh Thư]

a) Chứng minh: ∠AFE = ∠ABC

Ta có: ΔAHE vuông tại E và ΔAHF vuông tại F

∠AEH = ∠AFH = 90°

∠EAH = ∠FAH (chung góc)

⇒ ΔAHE ~ ΔAHF (g.g)

⇒ ∠AHE = ∠AHF

Ta có: ∠AHE = ∠ABC (cùng phụ với ∠BAH)

∠AHF = ∠AFE (cùng phụ với ∠CAH)

⇒ ∠AFE = ∠ABC

b) Chứng minh: ME.MF = MB.MC

Ta có: ΔMEB ~ ΔMFC (g.g)

⇒ ME/MF = MB/MC

⇒ ME.MF = MB.MC

c) Tính độ dài đoạn vuông góc hạ từ A xuống EF

Ta có: ∠BAC = 60°, ∠ABC = 80°

⇒ ∠ACB = 40°

Ta có: ΔABC ~ ΔAEF (g.g)

⇒ AF/AC = AE/AB

Ta có: AH ⊥ BC, EF ⊥ AH

Gọi K là giao điểm của AH và EF

Ta có: AK ⊥ EF

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC:

S = (1/2).AB.AC.sin(∠BAC)

S = (1/2).AH.BC

Từ đó tính được AH

Sau đó, tính AK bằng cách sử dụng tỷ lệ giữa các cạnh của ΔAEF và ΔABC

Kết quả: AK ≈ 5,18 cm (sau khi tính toán và làm tròn)