Câu hỏi của hong minh

Question

Chứng minh $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ là nghiệm phương trình$x^4-16x^2+32=0$

Kiệt Nguyễn · Accepted Answer

Đặt $x_0=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}$.Ta sẽ chứng minh x₀ là nghiệm của phương trình $x^4-16x^2+32=0$

Ta có: $x_0=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

$\Rightarrow x_0^2=2+\sqrt{2+\sqrt{3}}+6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}$

$-2\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

$=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3}.\sqrt{4-\left(2+\sqrt{3}\right)}$

$=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3\left(2-\sqrt{3}\right)}$

$\Rightarrow x_0^2-8=-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3\left(2-\sqrt{3}\right)}$

$\Rightarrow\left(x_0^2-8\right)^2=\left[-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3\left(2-\sqrt{3}\right)}\right]^2$

$\Leftrightarrow x_0^4-16x_0^2+64=4\left(2+\sqrt{3}\right)+12\left(2-\sqrt{3}\right)+8\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow x_0^4-16x_0^2+64=32$

$\Leftrightarrow x_0^4-16x_0^2+32=0$

Điều này chứng tỏ x₀ là nghiệm của phương trình $x^4-16x^2+32=0$

Vậy $x_0\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}$là nghiệm của phương trình $x^4-16x^2+32=0$(đpcm)

Câu trả lời: