Câu hỏi của Thanh Tu Nguyen

Question

chứng minh rằng $x^2-xy+y^2>0$ với mọi x, y không đồng thời = 0

Nguyễn Đức Trí · Accepted Answer

$A=x^2-xy+y^2$

$\Rightarrow A=x^2-xy+\dfrac{1}{4}y^2-\dfrac{1}{4}y^2+y^2$

$\Rightarrow A=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2$

mà $\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2\ge0;\dfrac{3}{4}y^2\ge0$

$\Rightarrow A=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2\ge0$

$\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2>0$ với mọi x,y không đồng thời bằng 0

Câu trả lời:

$A=x^2-xy+y^2$

$\Rightarrow A=x^2-xy+\dfrac{1}{4}y^2-\dfrac{1}{4}y^2+y^2$

$\Rightarrow A=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2$

mà $\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2\ge0;\dfrac{3}{4}y^2\ge0$

$\Rightarrow A=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2\ge0$

$\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2>0$ với mọi x,y không đồng thời bằng 0