Question

[Thái Viết Nam]

Chứng minh rằng \(x_0=\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^2+p^3}}+\sqrt[3]{-q-\sqrt{q^2+p^3}}\) là một trong các nghiệm của phương trình: \(x^3+3px+2q=0\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Đặt \(\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^2+p^3}}=a; \sqrt[3]{-q-\sqrt{q^2+p^3}}=b\) thì $x_0=a+b$

Khi đó:

\(a^3+b^3=-2q\)

\(ab=\sqrt[3]{(-q+\sqrt{q^2+p^3})(-q-\sqrt{q^2+p^3})}=\sqrt[3]{(-q)^2-(q^2+p^3)}=\sqrt[3]{-p^3}=-p\)

Ta có:

\((a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\)

\(\Leftrightarrow x_0^3=-2q+3.(-p)x_0\)

\(\Leftrightarrow x_0^3+3px_0+2q=0\)

Do đó $x_0$ là nghiệm của PT \(x^3+3px+2q=0\)

Ta có đpcm.