Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chỉ đúng trong trường hợp các số thực dương (kì lạ là các bạn rất thích quên điều kiện này khi đăng đề lên)
a/ \(\frac{a^3}{b^2}+a\ge2\sqrt{\frac{a^4}{b^2}}=\frac{2a^2}{b}\) ; \(\frac{b^3}{c^2}+b\ge\frac{2b^2}{c}\); \(\frac{c^3}{a^2}+c\ge\frac{2c^2}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(VT+a+b+c\ge2VP\Rightarrow VT\ge2VP-\left(a+b+c\right)\)
Mà \(2VP=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow2VP\ge VP+a+b+c\)
\(\Rightarrow2VP-\left(a+b+c\right)\ge VP\)
\(\Rightarrow VT\ge VP\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Câu dưới tương tự:
\(\frac{a^5}{b^3}+a^2+a^2\ge\frac{3a^3}{b}\) , làm tương tự với 2 cái còn lại và cộng lại:
\(\Rightarrow VT+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)=3\left(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{ca}+\frac{c^4}{ab}\right)\ge\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge a^2+b^2+c^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Câu 1 cần bổ sung thêm điều kiện $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác, tức là đảm bảo mẫu các phân thức vế trái luôn dương.
Nếu không, BĐT sai trong TH $(a,b,c)=(3,2,10)$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{a^4}{ab+ac-a^2}+\frac{b^4}{bc+ba-b^2}+\frac{c^4}{ac+bc-c^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+ac-a^2+bc+ba-b^2+ca+cb-c^2}\)
\(=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)}(1)\)
Mà theo BĐT AM-GM ta thấy: $ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2$
$\Rightarrow 2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)\leq a^2+b^2+c^2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
\(A+B+C=180^0\Rightarrow\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=90^0\Rightarrow\frac{A}{2}+\frac{B}{2}=90^0-\frac{C}{2}\)
\(\Rightarrow tan\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)=tan\left(90^0-\frac{C}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}{1-tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}}=cot\frac{C}{2}=\frac{1}{tan\frac{C}{2}}\)
\(\Leftrightarrow tan\frac{C}{2}\left(tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}\right)=1-tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}\)
\(\Leftrightarrow tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}=1\)
b/\(A+B+C=180^0\Rightarrow A+B=180^0-C\)
\(\Rightarrow cot\left(A+B\right)=cot\left(180^0-C\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{cotA.cotB-1}{cotA+cotB}=-cotC\)
\(\Leftrightarrow cotA.cotB-1=-cotA.cotC-cotB.cotC\)
\(\Leftrightarrow cotA.cotB+cotB.cotC+cotA.cotC=1\)
Trước hết ta chứng minh BĐT Vasc sau:
Cho các số thực dương a;b;c thỏa mãn \(abc=1\) thì:
\(\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}+\frac{1}{c^2+c+1}\ge1\)
Thật vậy, do \(abc=1\) nên tồn tại \(x;y;z\) sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{yz}{x^2}\\b=\frac{xz}{y^2}\\c=\frac{xy}{z^2}\end{matrix}\right.\)
BĐT trở thành: \(\sum\frac{1}{\frac{y^2z^2}{x^4}+\frac{yz}{x^2}+1}\ge1\Leftrightarrow\sum\frac{x^4}{y^2z^2+x^2yz+x^4}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\sum x^2y^2+\sum x^2yz+\sum x^4}\ge1\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\ge\sum x^2y^2+\sum x^2yz+\sum x^4\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge x^2yz+y^2xz+z^2xy\)
BĐT trên luôn đúng (theo dạng quen thuộc \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\))
Vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng cho bài toán:
\(VT=\sum\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}=\sum\frac{1}{\left(\frac{b}{a}\right)^2+\frac{b}{a}+1}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{b}{a}=x\\\frac{c}{b}=y\\\frac{a}{c}=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xyz=1\)
\(\Rightarrow VT=\sum\frac{1}{x^2+x+1}\ge1\) theo Vasc
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c\)
a) ta có : A+B+C=180=\(\pi\)
=>B+C= \(\pi\) - A
=> sin (B+C)=Sin(\(\pi\)-A)=SinA
b) tương tự:
cos( A+B)= Cos (\(\pi\)-C)=-cosC
c) ta có A+B+C =\(\pi\)=>\(\frac{A}{2}\)+\(\frac{B}{2}\)+\(\frac{C}{2}\)=\(\frac{\pi}{2}\)
=> sin (\(\frac{B+C}{2}\))=sin(\(\frac{\pi}{2}\)-\(\frac{A}{2}\))=cos(\(\frac{A}{2}\))
d) tương tự:
tan \(\frac{A+C}{2}\)=tan(\(\frac{\pi}{2}\)-\(\frac{B}{2}\))= cot\(\frac{B}{2}\)
===> đpcm
Mk cx chả biết cõ lỗi ko nữa nhưng thầy đọc thế nào chép thế ,nó là toán lớp 8 nhưng mà tra trên mangj nó toàn áp dụng mấy công thức lớp 10