Question

[Hưng Gia]

chứng minh rằng hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau và hai cạnh bên bằng nhau thì là hình thang cân

Answer 1

[Chu Duc Huy]

Giả sử \(A B C D\) là hình thang với \(A B \parallel C D\), hai cạnh đáy không bằng nhau \(\left(\right. A B \neq C D \left.\right)\) và hai cạnh bên bằng nhau \(\left(\right. A D = B C \left.\right)\).

Gọi \(E , F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) và \(B\) xuống đường thẳng \(C D\).

• Vì \(A B \parallel C D\), khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là không đổi nên \(A E = B F\) (cùng là “chiều cao” của hình thang).
• Xét hai tam giác vuông \(\triangle A E D\) và \(\triangle B F C\):
• • \(A E = B F\) (lập luận trên),
  • \(A D = B C\) (giả thiết),
  • Cả hai đều vuông tại \(E\) và \(F\).
    ⇒ \(\triangle A E D \cong \triangle B F C\) (theo cạnh–góc vuông–cạnh, hay RHS).

Từ đó suy ra các góc nhọn ứng nhau bằng nhau:

\(\angle A D C = \angle E D A = \angle C F B = \angle D C B .\)

Vậy \(\angle D = \angle C\).

Do \(A B \parallel C D\) nên các cặp góc kề bù theo cùng phía tạo bởi cạnh bên thỏa:

\(\angle A + \angle D = 180^{\circ} , \angle B + \angle C = 180^{\circ} .\)

Mà \(\angle D = \angle C\) nên suy ra \(\angle A = \angle B\).

Kết luận: hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau và hai cạnh bên bằng nhau thì có hai góc kề mỗi đáy bằng nhau, nên là hình thang cân.

ASK CHATJPT

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Gọi hình thang đề bài cho là ABCD với hai đáy là AB,CD

Gọi M là giao điểm của AD và BC

Xét ΔMDC có AB//DC
nên \(\frac{MA}{AD}=\frac{MB}{BC}\)

mà AD=BC

nên MA=MB

Ta có: MA+AD=MD

MB+BC=MC

mà MA=MB và AD=BC

nên MD=MC

=>ΔMDC cân tại M

=>\(\hat{MDC}=\hat{MCD}\)

=>\(\hat{ADC}=\hat{BCD}\)

Xét hình thang BADC(AB//CD) có \(\hat{ADC}=\hat{BCD}\)

nên BADC là hình thang cân