Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét tứ giác BCB'C' có
\(\widehat{BC'C}=\widehat{BB'C}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{BC'C}\) và \(\widehat{BB'C}\) là hai góc cùng nhìn cạnh BC
Do đó: BCB'C' là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
a, Xét tứ giác BCB'C' có đỉnh C' và B' kề nhau và cùng nhìn đoạn BC dưới 1 góc 90o => Tứ giác BCB'C' là tứ giác nội tiếp
b, kẻ đường kính AK, gọi giao điểm của AO và B'C' là H
Ta có: góc BAK = 1/2 sđ cung BK ( góc nội tiếp) (1)
góc AC'B' = góc B'CB ( góc ngoài ) = 1/2 sđ cung AB ( góc nội tiếp) (2)
Từ (1) và (2) => góc BAK + AC'B' = \(\frac{sđcungBK}{2}+\frac{sđcungAB}{2}\)=sđ cung AK / 2 = 180o /2 = 90o
Theo tổng 3 góc trong 1 tam giác => góc AHC' = 90o
hay AO vuông góc C'B' (đpcm)
cho mình hỏi tại sao góc AC'B' = góc B'CB ( góc ngoài ) = 1/2 sđ cung AB . Mình thấy góc AC'B' có bằng góc B'CB đâu
Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán một cách chi tiết.
a) Chứng minh tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\) là tứ giác nội tiếp
Dữ kiện:
- Tam giác \(A B C\) có ba góc nhọn, nội tiếp trong một đường tròn tâm \(O\).
- \(B B^{'}\) và \(C C^{'}\) là các đường cao của tam giác \(A B C\).
- \(A O\) cắt đường tròn tại \(D\) và cắt đoạn \(B^{'} C^{'}\) tại \(I\).
Chứng minh:
Để chứng minh tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\) là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng các góc đối diện của tứ giác này bằng \(180^{\circ}\).
- Xét các góc của tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\):
- \(\angle B C B^{'}\) là góc giữa các cạnh \(B C\) và \(B^{'} C^{'}\).
- \(\angle B^{'} C^{'} B\) là góc giữa các cạnh \(B^{'} C^{'}\) và \(B C\).
- Áp dụng định lý góc nội tiếp:
Do tam giác \(A B C\) nội tiếp trong một đường tròn, ta có: - \(\angle B O C = 2 \times \angle B A C\) (do góc tại tâm \(O\) bằng hai lần góc nội tiếp đối diện).
- \(\angle B C B^{'} = \angle B A C\), vì \(\angle B C B^{'}\) là góc nội tiếp của cung \(B C\).
- Tính tổng các góc đối diện trong tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\):
- Tổng các góc đối diện \(\angle B C B^{'}\) và \(\angle B^{'} C^{'}\) là \(180^{\circ}\), từ đó ta suy ra tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác \(A B^{'} C^{'}\) đồng dạng với tam giác \(A B C\)
Dữ kiện:
- Tam giác \(A B C\) là tam giác nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\).
- \(B^{'}\) và \(C^{'}\) là các điểm trên các đường cao \(B B^{'}\) và \(C C^{'}\) của tam giác \(A B C\).
Chứng minh:
Để chứng minh tam giác \(A B^{'} C^{'}\) đồng dạng với tam giác \(A B C\), ta sẽ chứng minh rằng các góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau.
- Góc \(\angle A B C = \angle A B^{'} C^{'}\):
- Do \(B^{'}\) là chân đường cao từ \(B\) và \(C^{'}\) là chân đường cao từ \(C\), ta có góc \(\angle A B C\) và góc \(\angle A B^{'} C^{'}\) đều là góc vuông (vì các đường cao tạo góc vuông với các cạnh tương ứng).
- Góc \(\angle A C B = \angle A C^{'} B^{'}\):
- Tương tự, góc \(\angle A C B\) và \(\angle A C^{'} B^{'}\) đều bằng nhau vì các đường cao và các điểm tương ứng tạo nên các góc vuông.
- Tỷ số các cạnh tương ứng bằng nhau:
- Vì \(A B^{'}\) là một đoạn thẳng trên đường cao và do tính chất của đường cao trong tam giác vuông, các cạnh của tam giác \(A B^{'} C^{'}\) sẽ có tỷ lệ bằng với các cạnh của tam giác \(A B C\), từ đó hai tam giác này đồng dạng.
c) Chứng minh \(B^{'} I D C^{'}\) là tứ giác nội tiếp
Dữ kiện:
- Tam giác \(A B C\) có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\).
- \(B B^{'}\) và \(C C^{'}\) là các đường cao của tam giác \(A B C\).
- \(A O\) cắt đường tròn tại \(D\) và cắt đoạn \(B^{'} C^{'}\) tại \(I\).
Chứng minh:
Để chứng minh tứ giác \(B^{'} I D C^{'}\) là tứ giác nội tiếp, ta sẽ chứng minh rằng tổng các góc đối diện của tứ giác này bằng \(180^{\circ}\).
- Xét các góc của tứ giác \(B^{'} I D C^{'}\):
- \(\angle B^{'} I D\) và \(\angle B^{'} C^{'}\) là hai góc đối diện.
- \(\angle D I C^{'}\) và \(\angle B^{'} I C\) là hai góc còn lại.
- Áp dụng định lý góc nội tiếp:
- Vì \(A O\) cắt đường tròn tại \(D\), và \(D\) là điểm thuộc cung tròn \(B^{'} C^{'}\), ta có các góc \(\angle B^{'} I D\) và \(\angle D I C^{'}\) là các góc nội tiếp của các cung tròn tương ứng.
- Do đó, tổng các góc đối diện của tứ giác \(B^{'} I D C^{'}\) sẽ bằng \(180^{\circ}\), suy ra tứ giác \(B^{'} I D C^{'}\) là tứ giác nội tiếp.
Kết luận:
- Tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\) là tứ giác nội tiếp.
- Tam giác \(A B^{'} C^{'}\) đồng dạng với tam giác \(A B C\).
- Tứ giác \(B^{'} I D C^{'}\) là tứ giá
a) Ta có \(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90độ\)(gt)
Nên tứ giác BNMC nội tiếp (2 đỉnh N,M cùng BC với 2 góc bằng nhau)
(Câu sau không rõ. Cái gì là tâm đường tròn nội tiếp ΔMNH?)
b) Xét ΔAMN và ΔABC có:
\(\widehat{BAC}\)chung
\(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)(tứ giác BNMC nội tiếp)
Do đó ΔAMN ~ ΔABC
Nên\(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\)
hay AM.AC=AN.AB
Ta có \(\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90độ\left(gt\right)\)
Nên \(\widehat{ANH}+\widehat{AMH}=180độ\)
Suy ra tứ giác ANHM nội tiếp
Do đó \(\widehat{NAM}+\widehat{NHM}=180độ\)
Mà \(\widehat{NHM}=\widehat{BHC}\)(đối đỉnh)
\(\widehat{BHC}=\widehat{BLC}\)(tính chất đối xứng trục)
Nên \(\widehat{NAM}+\widehat{BLC}=180độ\)
Suy ra tứ giác ABLC nội tiếp đường tròn (O) (tổng 2 góc đối bằng 180độ)
c) (Câu này hình như bạn ghi sai đề rồi, nếu I là giao điểm AH với AN thì I sẽ trùng với A. Nên mình nghĩ I là giao điểm MN với AH)
Ta có \(\widehat{HDC}=\widehat{HMC}=90độ\left(gt\right)\)
Nên \(\widehat{HDC+}\widehat{HMC}=180độ\)
Do đó tứ giác HMCD nội tiếp
Suy ra \(\widehat{HMD}=\widehat{HCD}\)
Mà \(\widehat{HCD}=\widehat{HMN}\)(tứ giác BMNC nội tiếp)
Nên \(\widehat{HMD}=\widehat{HMN}\)
Vậy MH là phân giác \(\widehat{NMD}\)
Mà MH vuông góc AM (gt)
Nên AM là phân giác ngoài
Do đó \(\frac{IH}{ID}=\frac{AH}{AD}\)
hay IH.AD=AH.ID
a.Ta có :
ˆAFH=ˆADB=90o→ΔAFH∼ΔADB(g.g)
→AFAD=AHAB→AF.AB=AH.AD
Tương tự AH.AD=AE.AC→AF.AB=AE.AC
b.Ta có :
ˆHFA=ˆHEA=ˆHFB=ˆHDB=90o
→AEHF,AEDB,FHDB nội tiếp
→ˆHFE=ˆFAE=ˆHBD=ˆHFD
→FH là phân giác ˆDFE
Mà FA⊥FH→FA là phân giác góc ngoài tại đỉnh F của ΔDEF
→HIHD=FIFD=AIAD
→IH.AD=AI.DH