Câu hỏi của dia fic

Question

choa, b, c dương thỏa mãn $a+b+c=\dfrac{3}{2}$. Tìm GTNN của $P=\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+4a^2}$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Chắc là bạn ghi nhầm mẫu số cuối cùng

$\dfrac{1+b}{1+4a^2}=1+b-\dfrac{4a^2\left(1+b\right)}{1+4a^2}\ge1+b-\dfrac{4a^2\left(1+b\right)}{4a}=1+b-a\left(1+b\right)$

Tương tự: $\dfrac{1+c}{1+4b^2}\ge1+c-b\left(1+c\right)$ ; $\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge1+a-c\left(1+a\right)$

Cộng vế với vế:

$P\ge3+a+b+c-\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)$

$P\ge3-\left(ab+bc+ca\right)\ge3-\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\dfrac{9}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$

Câu trả lời:

Chắc là bạn ghi nhầm mẫu số cuối cùng

$\dfrac{1+b}{1+4a^2}=1+b-\dfrac{4a^2\left(1+b\right)}{1+4a^2}\ge1+b-\dfrac{4a^2\left(1+b\right)}{4a}=1+b-a\left(1+b\right)$

Tương tự: $\dfrac{1+c}{1+4b^2}\ge1+c-b\left(1+c\right)$ ; $\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge1+a-c\left(1+a\right)$

Cộng vế với vế:

$P\ge3+a+b+c-\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)$

$P\ge3-\left(ab+bc+ca\right)\ge3-\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\dfrac{9}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$