Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Bạn khai triển \(xy+yz+zx\) và rút gọn là sẽ xong bài toán, kết quả hình như ra \(-1\)
Việc khai triển tính toán là rất đơn giản nhưng khá dài dòng và cần kiên nhẫn nên nhường bạn tự làm :D
Khi ấy ta có \(x^2+y^2+z^2-2+2=\left(x+y+z\right)^2+2\ge2\)
ta có : \(x^2+y^2+z^2+x^2y^2z^2-4xyz+y^2z^2-2yz+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(x^2-2xyz+y^2z^2\right)+\left(x^2y^2z^2-2xyz+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-z\right)^2+\left(x-yz\right)^2+\left(xyz-1\right)^2\ge0\) (đúng \(\forall x;y;z\))
\(\Rightarrow\) (đpcm)
Bài này cũng dễ mà:
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
\(y+z+1\ge3\sqrt[3]{yz}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{y+z+1}{3}\ge\sqrt[3]{yz}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{3x}{y+z+1}\)
\(\Rightarrow\)\(\sum\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\sum\dfrac{3x}{y+z+1}\)
Mà \(\sum\dfrac{3x}{y+z+1}=\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}\)
Áp dụng BĐT Cauchy -Schwaz:
\(\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
Mà:
\(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)(BĐT phụ)
\(\Rightarrow\)\(2\left(xy+yz+xz\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\)
Áp dụng BĐT Bunhicopski:
\(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\)
\(\Rightarrow x+y+z\le3\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le6+3=9\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{9}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge xy+yz+xz\left(ĐPCM\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=z=1
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\\ \Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge0\\ \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\ge0\)
đây là BĐT cơ bản luôn đúng suy ra đpcm