NP
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
5 tháng 8 2016
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
5 tháng 8 2016
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
SL
22 tháng 2 2016
ta có bđt phụ ,,,,,,,, x2+y2+z2 >= xy+yz+zx
thay vào thôi,,,cái bđt dễ cm mà,,,nhân 2 2 vế rồi dùng tương đương
TN
27 tháng 5 2018
\(VT=6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+xz\right)+2\frac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}\)
\(\ge6\left(x+y+z\right)^2-2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(=\: 6\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2-2\cdot\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+2\cdot\frac{9}{4\cdot\frac{3}{4}}=9\)
15 tháng 9 2023
Ta cần chứng minh:\(\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\sqrt{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được:
\(\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\dfrac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\)
Mặt khác, ta có:
\(\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(\left(x+y+xy\right)+\left(y+z+yz\right)+\left(z+x+zx\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(6+xy+yz+zx\right)\)Lại có:
\(xy+yz+zx\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{9}{3}=3\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(6+3\right)=27\)
15 tháng 9 2023
\(\Rightarrow\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\le3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\ge\dfrac{9}{3\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
Do đó \(\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\sqrt{3}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\).
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 1 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1=xy+yz+xz+2xyz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}+2.\frac{(x+y+z)^3}{27}$
$\Leftrightarrow 1\leq \frac{t^2}{3}+\frac{2t^3}{27}$ (đặt $x+y+z=t$)
$\Leftrightarrow 2t^3+9t^2-27\geq 0$
$\Leftrightarrow (t+3)^2(2t-3)\geq 0$
$\Leftrightarrow 2t-3\geq 0$
$\Leftrightarrow t\geq \frac{3}{2}$ hay $x+y+z\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
31 tháng 1 2021
Bài 1:
Ta có: \(P=\frac{1}{1+x^2}+\frac{4}{4+y^2}=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+\frac{y^2}{4}}\)
Đặt \(\left(x;\frac{y}{2}\right)=\left(a;b\right)\left(a,b>0\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+2ab\\ab\ge1\end{cases}}\)
Ta có: \(P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+2ab\)
\(\ge\frac{1}{ab+a^2}+\frac{1}{ab+b^2}+2ab=\frac{1}{ab}+2ab\)
\(=\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+ab\ge2+1=3\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(ab=\frac{1}{ab}\Rightarrow ab=1\Rightarrow xy=2\)
31 tháng 1 2021
Bài 3:
Đặt \(\left(a-1;b-1;c-1\right)=\left(x;y;z\right)\left(x,y,z>1\right)\)
Khi đó:
\(BĐTCCM\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)^2}{y}+\frac{\left(y+1\right)^2}{z}+\frac{\left(z+1\right)^2}{x}\ge12\)
Thật vậy vì ta có:
\(VT=\frac{\left(x+1\right)^2}{y}+\frac{\left(y+1\right)^2}{z}+\frac{\left(z+1\right)^2}{x}\)
\(=\frac{x^2+2x+1}{y}+\frac{y^2+2y+1}{z}+\frac{z^2+2z+1}{x}\)
\(=\left(\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}\right)+\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{2x}{y}\cdot\frac{2y}{z}\cdot\frac{2z}{x}}+6\sqrt[6]{\frac{x^2}{y}\cdot\frac{y^2}{z}\cdot\frac{z^2}{x}\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{z}}=6+6=12\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)