Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đã xảy ra lỗi rồi. Bạn thông cảm vì sai sót này.
Ta có:
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm
trong đó với , ta có:
Tương tự, ta có:
Cộng ba bất đẳng thức và , ta được:
Khi đó, ta chỉ cần chứng minh
Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh được quy về dạng sau: (bất đẳng thức Cauchy cho ba số )
Hay
Mà đã được chứng minh ở câu nên luôn đúng với mọi
Dấu xảy ra
Vậy,
a) A C E F B D
\(cosA=\sqrt{cosA^2}=\sqrt{\frac{AF}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}}=\sqrt{\frac{AF}{AC}\cdot\frac{AE}{AB}}\le\frac{\frac{AF}{AC}+\frac{AE}{AB}}{2}\)(BDT AM-GM)
Tương tự ta có:
\(cosB\le\frac{\frac{BE}{BA}+\frac{BD}{BC}}{2};cosC\le\frac{\frac{CD}{CB}+\frac{CF}{CA}}{2}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\frac{CF+AF}{AC}+\frac{AE+BE}{AB}+\frac{BD+DC}{BC}}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}\)
Cách khác
CHo Tam giác ABC, M là 1 điểm bất kì nằm trong tam giác
Đặt x1=MA;x2=MB;x3=MC và p1;p2;p3 lần lượt là khoảng cách từ M đến BC,CA,AB tương ứng. Khi đó ta có BĐT \(x_1+x_2+x_3\ge2\left(p_1+p_2+p_3\right)\)
Vận dụng giải bài trên:
Gọi O,R là tâm và bán kính đg tròng ngoại tiếp Tam giá ABC
Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của cạnh AB,BC,CA
Dễ thấy \(^{\widehat{A}=\widehat{MOB}}\).Do đó:
\(cosA=cos\left(\widehat{MOB}\right)=\frac{OM}{OB}=\frac{OM}{R}\)
tương tự \(cosB=\frac{ON}{R};cosC=\frac{OP}{R}\)
Do đó \(cosA+cosB+cosC=\frac{OM+ON+OP}{T}\le\frac{1}{2}\left(\frac{OA+OB+OC}{R}\right)=\frac{3}{2}\) (BĐT erdos-mordell )
Dấu "=" khi tam giác ABC đều
C A B H
Gọi AH là đường cao của tam giác ABC như hình vẽ
ta có : \(AH=AC\times sinC=b.sinC\)
mà \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}AC.BC.sinC=\frac{1}{2}ab.sinC\)
.b hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh :
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}bc.sinA=\frac{1}{2}ac.sinB\)
hay \(abc.\frac{sinC}{c}=abc.\frac{sinA}{a}=abc.\frac{sinB}{b}\)
hay ta có : \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)
Từ A vẽ AD _|_ BC ,AG là trung tuyến cắt BC tại E\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}AD\le AE\Rightarrow\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{AE}\\1.2GE=BC\left(do\Delta BGCvuongcoElatrungdiem\right)\end{cases}}\)
cotB=\(\frac{BD}{AD}\)cotC=\(\frac{CD}{AD}\)\(\Rightarrow\)2.cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\)
3.G là trực tâm nên 3GE=AE\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{3GE}\)
từ 1, 2 và 3 \(\Rightarrow\)cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\ge\frac{2GE}{3GE}=\frac{2}{3}\)