Question

[Gia Linh]

cho tam giác đều MNP có cạnh=10cm. xác định tâm và bán kính của đtròn ngoại tiếp tam giác MNP

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Gọi A,B lần lượt là trung điểm của MP,MN. Gọi O là giao điểm của NA và PB

Ta có: \(MB=BN=\dfrac{MN}{2}\)

\(MA=AP=\dfrac{MP}{2}\)

mà MN=MP

nên MB=BN=MA=AP

Xét ΔBNP và ΔAPN có

BN=AP

\(\widehat{BNP}=\widehat{APN}\)

PN chung

Do đó: ΔBNP=ΔAPN

=>\(\widehat{BPN}=\widehat{ANP}\)

=>\(\widehat{ONP}=\widehat{OPN}\)

=>ON=OP
ΔMNP đều

mà PB là đường trung tuyến

nên PB\(\perp\)MN tại B

=>OB\(\perp\)MN tại B

Xét ΔOMN có

OB là đường cao

OB là đường trung tuyến

Do đó: ΔOMN cân tại O

=>OM=ON

mà ON=OP

nên OM=ON=OP

=>O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔMNP

Xét ΔMNP đều có PB là đường trung tuyến

nên \(PB=MN\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔMNP có

PB,NA là các đường trung tuyến

PB cắt NA tại O

Do đó: O là trọng tâm của ΔMNP

=>\(OP=\dfrac{2}{3}\cdot PB=\dfrac{2}{3}\cdot5\sqrt{3}=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)

=>Bán kính là \(\dfrac{10\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)