Question

[phong nguyen]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ tia phân giác BD của góc ABC cắt AC tại D; vẽ DE vuông góc với BC tại E.

a) Chứng minh: ABD= EBD , từ đó suy ra AD= ED

b) Tia ED cắt BA tại F. Chứng minh: BD= FC  và BFC cân.

c) Gọi M là trung điểm của FC. Chứng minh ba điểm B,D,M thẳng hàng.

Answer 1

[LMV gamer]

a) Chứng minh: ∠ABD = ∠EBD, từ đó suy ra AD = ED

Ta biết rằng BD là tia phân giác của góc ABC, do đó, ta có ∠ABD = ∠DBC. Đồng thời, vì DE ⊥ BC, nên ta có ∠EBD = 90°. Vì vậy, ∠ABD = ∠EBD, từ đó suy ra tam giác ABD và EBD vuông tại B có các góc bằng nhau và BD = BD. Do đó, theo định lý đồng dạng, ta có AD = ED.

b) Tia ED cắt BA tại F. Chứng minh: BD = FC ⊥ và BFC cân

Vì DE ⊥ BC, khi ED cắt BA tại F, ta có DF ⊥ BC. Hơn nữa, tam giác BFC vuông tại F, vì FC là cạnh góc vuông và BF = FC, nên tam giác BFC là tam giác vuông cân tại F.

c) Gọi M là trung điểm của FC. Chứng minh ba điểm B, D, M thẳng hàng

Vì M là trung điểm của FC, ta có FM = MC. Do đó, ba điểm B, D, M thẳng hàng theo định lý trung điểm trong tam giác vuông cân, vì điểm D là trung điểm của đoạn BC.

Answer 2

[Kiều Vũ Linh]

a) Do BD là tia phân giác của ∠ABC (gt)

⇒ ∠ABD = ∠CBD

⇒ ∠ABD = ∠EBD

Xét hai tam giác vuông: ∆ABD và ∆EBD có:

BD là cạnh chung

∠ABD = ∠EBD (cmt)

⇒ ∆ABD = ∆EBD (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AD = ED (hai cạnh tương ứng)

b) Sửa đề: Chứng minh BF = BC

Do ∆ABD = ∆EBD (cmt)

⇒ AB = EB (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông: ∆ADF và ∆EDC có:

AD = ED (cmt)

∠ADF = ∠EDC (đối đỉnh)

⇒ ∆ADF = ∆EDC (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

⇒ AF = EC (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = EB (cmt)

⇒ AF + AB = EC + EB

⇒ BF = BC

⇒ ∆BFC cân tại B

c) Do BD là tia phân giác của ∠ABC (cmt)

⇒ BD là tia phân giác của ∠FBC

⇒ BD là đường phân giác của ∆BFC

Mà ∆BFC cân tại B (cmt)

⇒ BD là đường trung tuyến của ∆BFC

Lại có M là trung điểm của FC (gt)

⇒ B, D, M thẳng hàng