Question

[Lê Dương]

cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC,M là 1 điểm tuỳ ý trên BC . Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt đoạn AB tại I và cắt tia CA tại D . C/m

a, tam giác ABC đồng dạng với tam giác MDC

b, BI.BA=BM.BC

c, CI cắt BD tại K , Chứng minh BI.BA + CI.CK ko phụ thuộc vào vị trí của điểm M

d, góc MAI =BDI , từ đó suy ra AB là phân giác góc MAK

Answer 1

[Trần Trung Nguyên]

BACMIKD

a) Xét △ABC và △MDC có

\(\widehat{C}\) chung

\(\widehat{DMC}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)

Suy ra △ABC \(\sim\) △MDC(g-g)

b) Xét △ABC và △MBI có

\(\widehat{B}\) chung

\(\widehat{BMI}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)

Suy ra △ABC \(\sim\) △MBI(g-g)

\(\Rightarrow\frac{AB}{BM}=\frac{BC}{BI}\Rightarrow BI.BA=BM.BC\)

c) Xét △BDC có 2 đường cao AB và DM cắt nhau tại I\(\Rightarrow\)I là trực tâm của △BDC mà CK đi qua I\(\Rightarrow\)CK là đường cao của △BDC hay CK⊥BD

Xét △CIM và △CBK có

\(\widehat{C}\) chung

\(\widehat{IMC}=\widehat{CKB}\left(=90^0\right)\)

Suy ra △CIM \(\sim\) △CBK(g-g)

\(\Rightarrow\frac{CI}{CB}=\frac{CM}{CK}\Rightarrow CI.CK=BC.CM\)

Vậy \(BI.BA+CI.CK=BM.BC+CM.BC=BC\left(MB+MC\right)=BC^2\)Vậy \(BI.BA+CI.CK\) không phụ thuộc vào vị trí của M

d) Xét tứ giác MIAC có

\(\widehat{CMI}+\widehat{IAC}=90^0+90^0=180^0\)\(\Rightarrow\) tứ giác MIAC nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{ICA}=\widehat{IMA}\Rightarrow\widehat{ICA}+\widehat{AIC}=\widehat{IMA}+\widehat{AIC}\Rightarrow\widehat{IMA}+\widehat{AIC}=90^0\Rightarrow\widehat{MIC}+\widehat{MAI}=90^0\)(tổng 3 góc trong 1 tam giác bằng 180⁰)\(\Rightarrow\widehat{MAI}+\widehat{KID}=90^0\)

Mà \(\widehat{BDI}+\widehat{KID}=90^0\)

Suy ra \(\widehat{MAI}=\widehat{BDI}\)(1)

Xét tứ giác KIDA có

\(\widehat{IKD}+\widehat{IAD}=90^0+90^0=180^0\Rightarrow\) tứ giác KIDA nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{KAI}=\widehat{BDI}\)(2)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{KAI}\) hay AB là phân giác \(\widehat{MAK}\)

Answer 2

[Trần Trung Nguyên]

B A C M I K D

a) Xét △ABC và △MDC có

\(\widehat{C}\) chung

\(\widehat{DMC}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)

Suy ra △ABC \(\sim\) △MDC(g-g)

b) Xét △ABC và △MBI có

\(\widehat{B}\) chung

\(\widehat{BMI}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)

Suy ra △ABC \(\sim\) △MBI(g-g)

\(\Rightarrow\frac{AB}{BM}=\frac{BC}{BI}\Rightarrow BI.BA=BM.BC\)

c) Xét △BDC có 2 đường cao AB và DM cắt nhau tại I\(\Rightarrow\)I là trực tâm của △BDC mà CK đi qua I\(\Rightarrow\)CK là đường cao của △BDC hay CK⊥BD

Xét △CIM và △CBK có

\(\widehat{C}\) chung

\(\widehat{IMC}=\widehat{CKB}\left(=90^0\right)\)

Suy ra △CIM \(\sim\) △CBK(g-g)

\(\Rightarrow\frac{CI}{CB}=\frac{CM}{CK}\Rightarrow CI.CK=BC.CM\)

Vậy \(BI.BA+CI.CK=BM.BC+CM.BC=BC\left(MB+MC\right)=BC^2\)Vậy \(BI.BA+CI.CK\) không phụ thuộc vào vị trí của M

d) Xét tứ giác MIAC có

\(\widehat{CMI}+\widehat{IAC}=90^0+90^0=180^0\)\(\Rightarrow\) tứ giác MIAC nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{ICA}=\widehat{IMA}\Rightarrow\widehat{ICA}+\widehat{AIC}=\widehat{IMA}+\widehat{AIC}\Rightarrow\widehat{IMA}+\widehat{AIC}=90^0\Rightarrow\widehat{MIC}+\widehat{MAI}=90^0\)(tổng 3 góc trong 1 tam giác bằng 180⁰)\(\Rightarrow\widehat{MAI}+\widehat{KID}=90^0\)

Mà \(\widehat{BDI}+\widehat{KID}=90^0\)

Suy ra \(\widehat{MAI}=\widehat{BDI}\)(1)

Xét tứ giác KIDA có

\(\widehat{IKD}+\widehat{IAD}=90^0+90^0=180^0\Rightarrow\) tứ giác KIDA nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{KAI}=\widehat{BDI}\)(2)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{KAI}\) hay AB là phân giác \(\widehat{MAK}\)