Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải
Gọi tọa độ và thiết lập hệ trục:
Để chứng minh nhanh và chặt chẽ, đặt hệ trục sao cho \(A C\) trùng trục hoành.
Gọi \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. c , 0 \left.\right)\) với \(c \neq 0\). Gọi \(B \left(\right. b_{x} , b_{y} \left.\right)\) với \(b_{y} \neq 0\).
Từ giả thiết:
- Đường qua \(A\) vuông góc với \(A C\) là trục tung nên đường \(a\) có phương trình \(x = 0\).
- Đường qua \(B\) song song với \(A C\) là đường ngang \(y = b_{y}\).
Do đó \(M\), giao của hai đường này, có toạ độ \(M \left(\right. 0 , b_{y} \left.\right)\).
Trung điểm \(I\) của \(A B\) có toạ độ
\(I \left(\right. \frac{b_{x}}{2} , \frac{b_{y}}{2} \left.\right) .\)
Phương trình đường \(M I\). Hệ số góc
\(m_{M I} = \frac{\frac{b_{y}}{2} - b_{y}}{\frac{b_{x}}{2} - 0} = \frac{- \frac{b_{y}}{2}}{\frac{b_{x}}{2}} = - \frac{b_{y}}{b_{x}} .\)
Do đó phương trình \(M I\) là
\(y = b_{y} - \frac{b_{y}}{b_{x}} x .\)
Giao \(N\) của \(M I\) với \(A C\) (với \(A C : \textrm{ }\textrm{ } y = 0\)) thỏa
\(0 = b_{y} - \frac{b_{y}}{b_{x}} x \Rightarrow x = b_{x} .\)
Vậy \(N \left(\right. b_{x} , 0 \left.\right)\).
Đường \(B N\) là đường thẳng đi qua \(B \left(\right. b_{x} , b_{y} \left.\right)\) và \(N \left(\right. b_{x} , 0 \left.\right)\), tức phương trình \(x = b_{x}\) (đường thẳng đứng).
Đường cao \(A H\) đi qua \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\) và vuông góc với \(B C\). Hệ số góc của \(B C\) là
\(m_{B C} = \frac{b_{y} - 0}{b_{x} - c} = \frac{b_{y}}{b_{x} - c} ,\)
vậy hệ số góc của \(A H\) là \(- \frac{1}{m_{B C}} = - \frac{b_{x} - c}{b_{y}}\). Do \(A H\) đi qua \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), phương trình là
\(y = - \frac{b_{x} - c}{b_{y}} \textrm{ } x .\)
Giao \(O\) của \(B N\) ( \(x = b_{x}\) ) với \(A H\) có toạ độ
\(O \left(\right. b_{x} , \textrm{ }\textrm{ } y_{O} \left.\right) , y_{O} = - \frac{b_{x} - c}{b_{y}} \cdot b_{x} = - \frac{b_{x} \left(\right. b_{x} - c \left.\right)}{b_{y}} .\)
a) \(A M B N\) là hình gì? (chứng minh)
Ta có \(B M \parallel A C\) (vì đường qua \(B\) đã cho song song \(A C\)), và \(N\) nằm trên \(A C\), nên \(B M \parallel A N\).
Mặt khác \(A M\) vuông góc với \(A C\) (vì đường \(a\) qua \(A\) vuông góc với \(A C\)), nên \(A M \bot A N\). Từ đó \(A M \bot B M\).
Vì một cặp cạnh đối (AN và BM) song song nên \(A M B N\) là hình thang. Do có \(A M \bot A N\) (tức một góc vuông), nên \(A M B N\) là hình thang vuông.
b) Chứng minh \(C O \bot A B\)
Tính vector:
\(\overset{\rightarrow}{C O} = \left(\right. b_{x} - c , \textrm{ }\textrm{ } y_{O} \left.\right) = \left(\right. b_{x} - c , \textrm{ }\textrm{ } - \frac{b_{x} \left(\right. b_{x} - c \left.\right)}{b_{y}} \left.\right) , \overset{\rightarrow}{A B} = \left(\right. b_{x} , \textrm{ }\textrm{ } b_{y} \left.\right) .\)
Tích vô hướng của hai vector này là
\(\overset{\rightarrow}{C O} \cdot \overset{\rightarrow}{A B} = \left(\right. b_{x} - c \left.\right) \cdot b_{x} + \left(\right. - \frac{b_{x} \left(\right. b_{x} - c \left.\right)}{b_{y}} \left.\right) \cdot b_{y} = b_{x} \left(\right. b_{x} - c \left.\right) - b_{x} \left(\right. b_{x} - c \left.\right) = 0.\)
Tích vô hướng bằng \(0\) nên \(\overset{\rightarrow}{C O} \bot \overset{\rightarrow}{A B}\). Do đó \(C O \bot A B\).
Kết luận:
a) Tứ giác \(A M B N\) là hình thang vuông.
b) \(C O\) vuông góc với \(A B\).
ask chatjpt
Lời giải:
Bạn tự vẽ hình nhé.
a) Ta thấy \(\widehat{MFC}=90^0-\widehat{MAF}(1)\)
VÌ $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(AM=\frac{BC}{2}=BM=MC\)
\(\Rightarrow \triangle AMB\) cân tại $M$
\(\Rightarrow \widehat{MBE}=\widehat{MBA}=\widehat{MAB}=90^0-\widehat{MAF}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \widehat{MFC}=\widehat{MBE}\)
Xét tam giác $MBE$ và $MFC$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{MBE}=\widehat{MFC}\\ \widehat{BME}=\widehat{FMC}(\text{đối đỉnh})\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \triangle MBE\sim \triangle MFC(g.g)\)
b) Theo phần a thì \(\widehat{MBE}=\widehat{MFC}\Leftrightarrow \widehat{ABC}=\widehat{AFE}\)
Xét tam giác $ABC$ và $AFE$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{ABC}=\widehat{AFE}\\ \text{chung góc A}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle AFE(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AE}\Rightarrow AB.AE=AC.AF\)
c)
Do $AH,AM$ là hai đường cao tương ứng đỉnh $A$ của hai tam giác đồng dạng $ABC$ và $AFE$ nên \(\frac{AH}{AM}=\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AE}\)
Do đó \(\frac{S_{ABC}}{S_{AEF}}=\frac{\frac{AB.AC}{2}}{\frac{AE.AF}{2}}=\frac{AB}{AF}.\frac{AC}{AE}=\left(\frac{AH}{AM}\right)^2(*)\)
Xét tam giác $AMI$ và $AHM$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \text{chung góc A}\\ \widehat{AMI}=\widehat{AHM}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AMI\sim \triangle AHM(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AM}{AI}=\frac{AH}{AM}(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow \frac{S_{ABC}}{S_{AEF}}=\left(\frac{AM}{AI}\right)^2\) (đpcm)