Question

[Khôi Nguyên Bùi Công]

Cho Tam Giác ABC , phân giác AF . Lấy M và N thuộc cạnh AB và AC sao cho MN//BC và MN cắt AF tại E . MF và BE cắt nhau tại H , NF và EC cắt nhau tại K . HK cắt AB và AC tại P và Q . CM : HP/AB=KQ/AC

Answer 1

[HÀ HUY VƯỢNG]

1. Phân tích yếu tố song song \(M N \parallel B C\):
   Vì \(M N \parallel B C\), nên theo tính chất đường thẳng song song trong tam giác, ta có:
   \(\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} (\text{1})\)
2. Sử dụng tính chất của phân giác:
   Vì \(A F\) là phân giác của góc \(A\) nên theo tính chất phân giác:
   \(\frac{A B}{A C} = \frac{B F}{F C} (\text{2})\)
3. Nhận xét về tam giác nhỏ:
   Xét các tam giác \(M F H\) và \(B E H\), hai tam giác này có chung góc \(H\) và các đường thẳng liên quan (MF, BE) bắt đầu từ hai đỉnh và giao nhau ở \(H\).
   Tương tự với tam giác \(N F K\) và \(C E K\).
4. Ứng dụng định lý Menelaus:
   Xét tam giác \(A B M\) với đường thẳng \(H K\) cắt \(A B\) tại \(P\), \(M N\) tại \(E\), và \(M F\) tại \(H\). Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác này.
   Tương tự, xét tam giác \(A N C\) cũng áp dụng định lý Menelaus.
5. Thiết lập tỉ số:
   Từ việc áp dụng định lý Menelaus, thiết lập các tỉ số liên quan \(\frac{H P}{P B} , \frac{P E}{E M} , \frac{M H}{H F}\), v.v.
   Sau khi thiết lập xong, dùng các giả thiết từ (1) và (2) để thay vào, rút gọn.
6. Chứng minh điều phải chứng minh:
   Cuối cùng, từ các tỉ số, chứng minh rằng:
   \(\frac{H P}{A B} = \frac{K Q}{A C}\)