Question

[gay i am]

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng chứa
đỉnh C bờ là đường thẳng AB dụng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC.
CMR:
a) FB = EC
b) EF = 2AM
c) AM vuông góc với EF

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: ta có; \(\hat{EAC}=\hat{EAB}+\hat{BAC}=90^0+\hat{BAC}\)

\(\hat{BAF}=\hat{BAC}+\hat{FAC}=\hat{BAC}+90^0\)

Do đó: \(\hat{EAC}=\hat{BAF}\)

Xét ΔEAC và ΔBAF có

EA=BA

\(\hat{EAC}=\hat{BAF}\)

AC=AF

Do đó: ΔEAC=ΔBAF

=>EC=BF

b: Trên tia đối của tia MA, lấy K sao cho MA=MK

Xét ΔMAB và ΔMKC có

MA=MK

\(\hat{AMB}=\hat{KMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMKC

=>\(\hat{MAB}=\hat{MKC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//CK

=>\(\hat{BAC}+\hat{ACK}=180^0\) (hai góc trong cùng phía)(1)

Ta có: \(\hat{BAC}+\hat{BAE}+\hat{CAF}+\hat{EAF}=360^0\)

=>\(\hat{BAC}+\hat{EAF}=360^0-90^0-90^0=180^0\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{ACK}=\hat{FAE}\)

Ta có: ΔMAB=ΔMKC

=>AB=KC

mà AB=AE

nên AE=KC

Xét ΔACK và ΔFAE có

AC=FA

\(\hat{ACK}=\hat{FAE}\)

CK=AE

Do đó: ΔACK=ΔFAE

=>AK=FE

mà AK=2AM

nên EF=2AM

c: ΔACK=ΔFAE

=>\(\hat{CAK}=\hat{AFE}\)

Gọi H là giao điểm của AK và FE

Ta có: \(\hat{HAF}+\hat{FAC}+\hat{CAK}=180^0\)

=>\(\hat{HAF}+\hat{CAK}=180^0-90^0=90^0\)

=>\(\hat{HAF}+\hat{HFA}=90^0\)

=>AH⊥FE tại H

=>AK⊥FE tại H