Question

[Pharaoh Atem]

Cho tam giác ABC. H là trực tâm. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm BC, AC. O là giao điểm của các đường trung trực trong tam giác. Hỏi:

a, C/m tam giác OMN đồng dạng với tam giác HAB?

b, Gọi G là trọng tâm ABC. C/m tam giác HAG đồng dạng với tam giác OMG?

c, C/m 3 điểm H, O, G thẳng hàng?

d, C/m GH = 2GO?

Answer 1

[Vũ Huy Hoàng]

a) Gọi D là trung điểm CH; E là giao điểm của ON và AH.

Ta có: ∠MON=180⁰- ∠MOE=180⁰- ∠BHE=∠AHB

DM; DN lần lượt là đường trung bình của tam giác BCH và CAH

=> DM//BH//ON (cùng ⊥ AC); DN//AH//OM (cùng ⊥ BC)

=> ONDM là hình bình hành

=> \(OM=ND=\frac{AH}{2};\) \(ON=MD=\frac{BH}{2}\)

=> ΔOMN~ΔHAB(c.g.c) (đpcm)

b)c) Xét Δ AGH và Δ MGO có:

\(\frac{AH}{MO}=\frac{AG}{MG}\)=2 ; ∠GAH = ∠GMO

=> Δ AGH~Δ MGO(c.g.c)

=>∠AGH=∠MGO; GH=2GO (đpcm).

=> ∠HGO= ∠AGH+∠AGO= ∠MGO+∠AGO=180⁰

=> H,G,O thẳng hàng (đpcm)