Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Xét tứ giác BCB'C' có đỉnh C' và B' kề nhau và cùng nhìn đoạn BC dưới 1 góc 90o => Tứ giác BCB'C' là tứ giác nội tiếp
b, kẻ đường kính AK, gọi giao điểm của AO và B'C' là H
Ta có: góc BAK = 1/2 sđ cung BK ( góc nội tiếp) (1)
góc AC'B' = góc B'CB ( góc ngoài ) = 1/2 sđ cung AB ( góc nội tiếp) (2)
Từ (1) và (2) => góc BAK + AC'B' = \(\frac{sđcungBK}{2}+\frac{sđcungAB}{2}\)=sđ cung AK / 2 = 180o /2 = 90o
Theo tổng 3 góc trong 1 tam giác => góc AHC' = 90o
hay AO vuông góc C'B' (đpcm)
cho mình hỏi tại sao góc AC'B' = góc B'CB ( góc ngoài ) = 1/2 sđ cung AB . Mình thấy góc AC'B' có bằng góc B'CB đâu
Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán một cách chi tiết.
a) Chứng minh tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\) là tứ giác nội tiếp
Dữ kiện:
- Tam giác \(A B C\) có ba góc nhọn, nội tiếp trong một đường tròn tâm \(O\).
- \(B B^{'}\) và \(C C^{'}\) là các đường cao của tam giác \(A B C\).
- \(A O\) cắt đường tròn tại \(D\) và cắt đoạn \(B^{'} C^{'}\) tại \(I\).
Chứng minh:
Để chứng minh tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\) là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng các góc đối diện của tứ giác này bằng \(180^{\circ}\).
- Xét các góc của tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\):
- \(\angle B C B^{'}\) là góc giữa các cạnh \(B C\) và \(B^{'} C^{'}\).
- \(\angle B^{'} C^{'} B\) là góc giữa các cạnh \(B^{'} C^{'}\) và \(B C\).
- Áp dụng định lý góc nội tiếp:
Do tam giác \(A B C\) nội tiếp trong một đường tròn, ta có: - \(\angle B O C = 2 \times \angle B A C\) (do góc tại tâm \(O\) bằng hai lần góc nội tiếp đối diện).
- \(\angle B C B^{'} = \angle B A C\), vì \(\angle B C B^{'}\) là góc nội tiếp của cung \(B C\).
- Tính tổng các góc đối diện trong tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\):
- Tổng các góc đối diện \(\angle B C B^{'}\) và \(\angle B^{'} C^{'}\) là \(180^{\circ}\), từ đó ta suy ra tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác \(A B^{'} C^{'}\) đồng dạng với tam giác \(A B C\)
Dữ kiện:
- Tam giác \(A B C\) là tam giác nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\).
- \(B^{'}\) và \(C^{'}\) là các điểm trên các đường cao \(B B^{'}\) và \(C C^{'}\) của tam giác \(A B C\).
Chứng minh:
Để chứng minh tam giác \(A B^{'} C^{'}\) đồng dạng với tam giác \(A B C\), ta sẽ chứng minh rằng các góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau.
- Góc \(\angle A B C = \angle A B^{'} C^{'}\):
- Do \(B^{'}\) là chân đường cao từ \(B\) và \(C^{'}\) là chân đường cao từ \(C\), ta có góc \(\angle A B C\) và góc \(\angle A B^{'} C^{'}\) đều là góc vuông (vì các đường cao tạo góc vuông với các cạnh tương ứng).
- Góc \(\angle A C B = \angle A C^{'} B^{'}\):
- Tương tự, góc \(\angle A C B\) và \(\angle A C^{'} B^{'}\) đều bằng nhau vì các đường cao và các điểm tương ứng tạo nên các góc vuông.
- Tỷ số các cạnh tương ứng bằng nhau:
- Vì \(A B^{'}\) là một đoạn thẳng trên đường cao và do tính chất của đường cao trong tam giác vuông, các cạnh của tam giác \(A B^{'} C^{'}\) sẽ có tỷ lệ bằng với các cạnh của tam giác \(A B C\), từ đó hai tam giác này đồng dạng.
c) Chứng minh \(B^{'} I D C^{'}\) là tứ giác nội tiếp
Dữ kiện:
- Tam giác \(A B C\) có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\).
- \(B B^{'}\) và \(C C^{'}\) là các đường cao của tam giác \(A B C\).
- \(A O\) cắt đường tròn tại \(D\) và cắt đoạn \(B^{'} C^{'}\) tại \(I\).
Chứng minh:
Để chứng minh tứ giác \(B^{'} I D C^{'}\) là tứ giác nội tiếp, ta sẽ chứng minh rằng tổng các góc đối diện của tứ giác này bằng \(180^{\circ}\).
- Xét các góc của tứ giác \(B^{'} I D C^{'}\):
- \(\angle B^{'} I D\) và \(\angle B^{'} C^{'}\) là hai góc đối diện.
- \(\angle D I C^{'}\) và \(\angle B^{'} I C\) là hai góc còn lại.
- Áp dụng định lý góc nội tiếp:
- Vì \(A O\) cắt đường tròn tại \(D\), và \(D\) là điểm thuộc cung tròn \(B^{'} C^{'}\), ta có các góc \(\angle B^{'} I D\) và \(\angle D I C^{'}\) là các góc nội tiếp của các cung tròn tương ứng.
- Do đó, tổng các góc đối diện của tứ giác \(B^{'} I D C^{'}\) sẽ bằng \(180^{\circ}\), suy ra tứ giác \(B^{'} I D C^{'}\) là tứ giác nội tiếp.
Kết luận:
- Tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\) là tứ giác nội tiếp.
- Tam giác \(A B^{'} C^{'}\) đồng dạng với tam giác \(A B C\).
- Tứ giác \(B^{'} I D C^{'}\) là tứ giá
Giải chi tiết:
a) Chứng minh tứ giác AB’HC’ nội tiếp đường tròn.
Xét tứ giác AB’HC’ có ∠AB′H+∠AC′H=900+900=1800⇒∠AB′H+∠AC′H=900+900=1800⇒ Tứ giác AB’HC’ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HD và BC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC.
Ta có ∠ABD=900∠ABD=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒AB⊥BD⇒AB⊥BD.
Mà CH⊥AB(gt)⇒BD∥CHCH⊥AB(gt)⇒BD∥CH
Chứng minh tương tự ta có CD∥BHCD∥BH.
⇒⇒ Tứ giác BHCD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có các cặp cạnh đối song song)
Mà BC∩HD=I(gt)⇒IBC∩HD=I(gt)⇒I là trung điểm của BC.
c) Tính AHAA′+BHBB′+CHCC′AHAA′+BHBB′+CHCC′.
Ta có:
SHBCSABC=12HA′.BC12AA′.BC=HA′AA′⇒1−SHBCSABC=1−HA′AA′=AA′−HA′AA′=AHAA′SHBCSABC=12HA′.BC12AA′.BC=HA′AA′⇒1−SHBCSABC=1−HA′AA′=AA′−HA′AA′=AHAA′
Chứng minh tương tự ta có: BHBB′=1−SHACSABC;CHCC′=1−SHABSABCBHBB′=1−SHACSABC;CHCC′=1−SHABSABC
⇒AHAA′+BHBB′+CHCC′=1−SHBCSABC+1−SHACSABC+1−SHABSABC=3−SHBC+SHAC+SHABSABC=3−1=2⇒AHAA′+BHBB′+CHCC′=1−SHBCSABC+1−SHACSABC+1−SHABSABC=3−SHBC+SHAC+SHABSABC=3−1=2
a) Xét tứ giác BCB'C' có
\(\widehat{BC'C}=\widehat{BB'C}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{BC'C}\) và \(\widehat{BB'C}\) là hai góc cùng nhìn cạnh BC
Do đó: BCB'C' là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Tứ giác BCC'B' nội tiếp. Do đó góc AB'C'=góc ACB. Kẻ tiếp tuyến Ax tại A (về phía B đối với bờ AC), suy ra xAB=ACB (góc giữa tiếp tuyến và dây cung). Do đó góc xAB=góc AB'C', suy ra Ax song song B'C'. Mà OA vuông góc Ax, nên OA vuông góc B'C'.