Question

[Đào Trường]

cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O kẻ các đường cao BB' và CC'.AO cắt đường tròn ở D và cắt B'C' tại I.a)chứng minh tứ giác BCB'C' là tứ giác nội tiếp.b)chứng minh tam giác AB'C' đồng dạng với tam giác ABC.c)chứng minh B'IDC' là tứ giác nội tiếp

Answer 1

[Trần Hoàng Trung]

Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán một cách chi tiết.

a) Chứng minh tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\) là tứ giác nội tiếp

Dữ kiện:

• Tam giác \(A B C\) có ba góc nhọn, nội tiếp trong một đường tròn tâm \(O\).
• \(B B^{'}\) và \(C C^{'}\) là các đường cao của tam giác \(A B C\).
• \(A O\) cắt đường tròn tại \(D\) và cắt đoạn \(B^{'} C^{'}\) tại \(I\).

Chứng minh:
Để chứng minh tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\) là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng các góc đối diện của tứ giác này bằng \(180^{\circ}\).

• Xét các góc của tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\):
• • \(\angle B C B^{'}\) là góc giữa các cạnh \(B C\) và \(B^{'} C^{'}\).
  • \(\angle B^{'} C^{'} B\) là góc giữa các cạnh \(B^{'} C^{'}\) và \(B C\).
• Áp dụng định lý góc nội tiếp:
  Do tam giác \(A B C\) nội tiếp trong một đường tròn, ta có:
• • \(\angle B O C = 2 \times \angle B A C\) (do góc tại tâm \(O\) bằng hai lần góc nội tiếp đối diện).
  • \(\angle B C B^{'} = \angle B A C\), vì \(\angle B C B^{'}\) là góc nội tiếp của cung \(B C\).
• Tính tổng các góc đối diện trong tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\):
• • Tổng các góc đối diện \(\angle B C B^{'}\) và \(\angle B^{'} C^{'}\) là \(180^{\circ}\), từ đó ta suy ra tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tam giác \(A B^{'} C^{'}\) đồng dạng với tam giác \(A B C\)

Dữ kiện:

• Tam giác \(A B C\) là tam giác nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\).
• \(B^{'}\) và \(C^{'}\) là các điểm trên các đường cao \(B B^{'}\) và \(C C^{'}\) của tam giác \(A B C\).

Chứng minh:
Để chứng minh tam giác \(A B^{'} C^{'}\) đồng dạng với tam giác \(A B C\), ta sẽ chứng minh rằng các góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau.

1. Góc \(\angle A B C = \angle A B^{'} C^{'}\):
2. • Do \(B^{'}\) là chân đường cao từ \(B\) và \(C^{'}\) là chân đường cao từ \(C\), ta có góc \(\angle A B C\) và góc \(\angle A B^{'} C^{'}\) đều là góc vuông (vì các đường cao tạo góc vuông với các cạnh tương ứng).
3. Góc \(\angle A C B = \angle A C^{'} B^{'}\):
4. • Tương tự, góc \(\angle A C B\) và \(\angle A C^{'} B^{'}\) đều bằng nhau vì các đường cao và các điểm tương ứng tạo nên các góc vuông.
5. Tỷ số các cạnh tương ứng bằng nhau:
6. • Vì \(A B^{'}\) là một đoạn thẳng trên đường cao và do tính chất của đường cao trong tam giác vuông, các cạnh của tam giác \(A B^{'} C^{'}\) sẽ có tỷ lệ bằng với các cạnh của tam giác \(A B C\), từ đó hai tam giác này đồng dạng.

c) Chứng minh \(B^{'} I D C^{'}\) là tứ giác nội tiếp

Dữ kiện:

• Tam giác \(A B C\) có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\).
• \(B B^{'}\) và \(C C^{'}\) là các đường cao của tam giác \(A B C\).
• \(A O\) cắt đường tròn tại \(D\) và cắt đoạn \(B^{'} C^{'}\) tại \(I\).

Chứng minh:
Để chứng minh tứ giác \(B^{'} I D C^{'}\) là tứ giác nội tiếp, ta sẽ chứng minh rằng tổng các góc đối diện của tứ giác này bằng \(180^{\circ}\).

1. Xét các góc của tứ giác \(B^{'} I D C^{'}\):
2. • \(\angle B^{'} I D\) và \(\angle B^{'} C^{'}\) là hai góc đối diện.
   • \(\angle D I C^{'}\) và \(\angle B^{'} I C\) là hai góc còn lại.
3. Áp dụng định lý góc nội tiếp:
4. • Vì \(A O\) cắt đường tròn tại \(D\), và \(D\) là điểm thuộc cung tròn \(B^{'} C^{'}\), ta có các góc \(\angle B^{'} I D\) và \(\angle D I C^{'}\) là các góc nội tiếp của các cung tròn tương ứng.
   • Do đó, tổng các góc đối diện của tứ giác \(B^{'} I D C^{'}\) sẽ bằng \(180^{\circ}\), suy ra tứ giác \(B^{'} I D C^{'}\) là tứ giác nội tiếp.

Kết luận:

• Tứ giác \(B C B^{'} C^{'}\) là tứ giác nội tiếp.
• Tam giác \(A B^{'} C^{'}\) đồng dạng với tam giác \(A B C\).
• Tứ giác \(B^{'} I D C^{'}\) là tứ giá

Answer 2

[Trần Hoàng Trung]

Tham khảo