Question

[Lê Thanh Ngọc]

Cho tam giác ABC cân tại A , AB=AC=b ; BC=a , đường phân giác BD cắt AC tại D , BD=b . Chứng minh rằng :

a) BD² = AB.BC - AD.DC

b) \(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{b}{\left(a+b\right)^2}\)

Answer 1

[Tiểu Ma Bạc Hà]

A B C H D b a

Vì câu a dễ nên mik chỉ làm câu b thôi nhé --hơi dài đấy , cần kiên nhẫn đọc--hoặc tham khảo cách nào ngắn gọn hơn cũng được , hình chỉ minh họa , độ chính xác ko cao

==================== 

Kẻ BH là đường cao của tam giác ABC 

\(\Delta BAD\) cân tại B ( BA=BD) có BH là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

=> AH = \(\frac{AD}{2}\)

\(\Delta ABC\) có BD là đường phân giác trong nên : \(\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{b}{a}\)

=>\(\frac{DA}{b}=\frac{DC}{a}=\frac{DA+DC}{a+b}=\frac{AC}{a+b}=\frac{b}{a+b}\)=> \(DA=\frac{b^2}{a+b}\)

\(\Delta HAB\) vuông tại H , theo định lí Pi - ta - go ta có :

AB² = BH² + AH² => BH² = AB² -AH² = \(b^2-\frac{AD^2}{4}\) (1)

\(\Delta HBC\) vuông tại H , theo định lí Pi-ta-go , ta suy ra :

BH² = BC² - HC² = BC² - (AC - AH)² = \(a^2-\left(b-\frac{AD}{2}\right)^2\)= \(a^2-b^2+b.AD-\frac{AD^2}{4}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta suy ra :

        \(b^2-\frac{AD^2}{4}\)  =  \(a^2-b^2+b.AD-\frac{AD^2}{4}\left(2\right)\)

<=> \(b^2-a^2=b.AD-b^2\)

<=>\(\left(b-a\right)\left(b+a\right)=b.\frac{b^2}{a+b}-b^2\)

<=>\(\left(b-a\right)\left(b+a\right)=\frac{-ab^2}{a+b}\)

<=>\(\frac{a-b}{ab}=\frac{b}{\left(a+b\right)^2}\)

<=>\(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{\left(a+b\right)^2}\) (đpcm)

Answer 2

[Hoàng Phúc]

Sao cách của bn giống hệt sách kẻ thêm hình phụ của nguyễn đức tấn nhỉ :)))