Question

[Nguyễn Ngọc Anh]

Cho tam giác ABC, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở K. Gọi M là trung điểm của BC. a) chứng minh tam giác ADB đồng dạng tam giác AEC B) chứng minh HE. HC = HD. HB c) chứng minh H, K, Thẳng hàng

Answer 1

[Nguyễn Hải Phong]

Để chứng minh các phần trong bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước một cách rõ ràng:

a) Chứng minh tam giác ADB đồng dạng tam giác AEC

• Bước 1: Xét tam giác ADB và AEC.
• Bước 2: Ta có góc ADB = góc AEC (do hai đường cao BD và CE vuông góc với AB và AC).
• Bước 3: Ta có góc A là chung cho cả hai tam giác.
• Bước 4: Do đó, theo tiêu chí đồng dạng tam giác (góc-góc-góc), ta có: \(\Delta A D B sim \Delta A E C\)

b) Chứng minh \(H E \cdot H C = H D \cdot H B\)

• Bước 1: Theo định nghĩa của trung điểm M, ta có \(M\) là trung điểm của \(B C\) nên \(M B = M C\).
• Bước 2: Từ tam giác ADB và AEC vừa chứng minh đồng dạng, ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng: \(\frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C}\)
• Bước 3: Theo định lý đường cao trong tam giác, với H là giao điểm của hai đường cao, ta có: \(H E \cdot H C = H D \cdot H B\)Đây là một kết quả trực tiếp từ đồng dạng của các tam giác và tính chất đường cao.

c) Chứng minh H, K thẳng hàng

• Bước 1: Từ tam giác ADB và AEC, ta có \(\angle A D B = \angle A E C\) và \(\angle A D B + \angle A E C = 18 0^{\circ}\) (tổng của hai góc đối diện trong tam giác).
• Bước 2: Do đó, đường thẳng HK (đường vuông góc với AB tại B và với AC tại C) cũng sẽ tạo thành một đường thẳng đi qua H, vì H là giao điểm của các đường cao.
• Bước 3: Khi đó, ta có H, K thẳng hàng khi mà góc tại H và góc tại K tạo thành một đường thẳng.
• Kết luận: H và K thẳng hàng với nhau theo định lý về đường trung bình trong tam giác.

Kết luận cuối cùng:

• a) \(\Delta A D B sim \Delta A E C\)
• b) \(H E \cdot H C = H D \cdot H B\)
• c) H, K thẳng hàng

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\hat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

b: Xét ΔHEB vuông tại E và ΔHDC vuông tại D có

\(\hat{EHB}=\hat{DHC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEB~ΔHDC

=>\(\frac{HE}{HD}=\frac{HB}{HC}\)

=>\(HE\cdot HC=HD\cdot HB\)

c: Ta có: BH⊥AC

KC⊥AC

Do đó: BH//KC

Ta có: CH⊥AB

BK⊥BA

Do đó: CH//BK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HK

=>H,M,K thẳng hàng