Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta nhận xét rằng mỗi số hạng trong tổng \(M\) đều là số dương. Do đó, \(M > 0\).
Áp dụng bất đẳng thức này cho từng số hạng của \(M\), ta có: \(M = \sum_{k = 1}^{2025} \frac{k}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{3}} < \sum_{k = 1}^{2025} \frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}}\)
Đặt \(j = k + 1\). Khi \(k = 1\) thì \(j = 2\), và khi \(k = 2025\) thì \(j = 2026\). Do đó, \(\sum_{k = 1}^{2025} \frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}} = \sum_{j = 2}^{2026} \frac{1}{j^{2}}\).
Giá trị của \(\pi \approx 3.14159\), nên \(\pi^{2} \approx 9.8696\). \(\frac{\pi^{2}}{6} \approx \frac{9.8696}{6} \approx 1.6449\). Vậy \(\sum_{j = 2}^{2026} \frac{1}{j^{2}} < 1.6449 - 1 = 0.6449\).
Do đó, \(M < 0.6449\).
\(=\frac{1}{2^{3}}+\frac{2}{3^{3}}+\frac{3}{4^{3}}+...+\frac{2025}{202 6^{3}}\) \(M > \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8} = 0.125\)
Ta có \(0.125 < M < 0.6449\). Vì \(M\) nằm trong khoảng \(\left(\right. 0.125 , 0.6449 \left.\right)\), nên \(M\) không thể là một số tự nhiên
Do đó, giá trị của \(M\) không phải là số tự nhiên.
đây mik cx ko chắc chắn lắm
1/22+1/32+1/42+...+1/1002>0 và 1/22+1/32+....+1/1002<1/1.2+1/2.3+....+1/99.100=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/99-1/100=1-1/100<1
nên 0<1/22+1/32+...+1/1002 <1
vậy 1/22+1/32+...+1/1002 ko phải là số tự nhiên
Ta có \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+............+\frac{1}{100^2}>0\) (1)
VÌ \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1\cdot2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2\cdot3}\)
\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3\cdot4}\)
\(.\) \(.\)
\(.\) \(.\)
\(.\) \(.\)
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99\cdot100}\)
Cộng vế với vế ta có \(M=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+........+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+..........+\frac{1}{99\cdot100}\)
\(\Rightarrow M< 1-\frac{1}{100}< 1\)(2)
Kết hợp (1) với (2) ta có : \(0< M< 1\)
\(\Rightarrow\)Không tồn tại \(M\)là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện trên
k cho mình nha !
\(M=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{99^2}\)
\(\Rightarrow M< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{98.99}\)
\(\Rightarrow M< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\)
\(\Rightarrow M< 1-\frac{1}{99}< 1\)
Dễ thấy M > 0 nên 0 < M < 1
Vậy M không là số tự nhiên.
\(S=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+...+\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow S>\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+...+\frac{1}{100}\) (50 số hạng \(\frac{1}{100}\))
\(\Rightarrow S>\frac{1}{100}.50=\frac{1}{2}\)
Vậy \(S>\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
bài kia thiếu oy : 0 < 1 nhưng 0 vẫn là số tự nhiên :v
\(M=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2010^2}\)
+ vì các phân số trên đều là phân số dương nên tổng của chúng > 0
=> M > 0 (1)
+ \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1\cdot2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2\cdot3}\)
\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3\cdot4}\)
.....
\(\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{2009\cdot2010}\)
nên \(M< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{2009\cdot2010}\)
\(\Rightarrow M< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)
\(\Rightarrow M< 1-\frac{1}{2010}\)
\(\Rightarrow M< 1\) (2)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow0< M< 1\)
=> M không phải là số tự nhiên
\(M=\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\frac{1}{4.4}+...+\frac{1}{2009.2009}+\frac{1}{2010.2010}\)
\(M< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)
\(M< 1-\frac{1}{2010}\)
=> M < 1(vì 1 trừu đi số nào cũng bé hơn nó)
=> M không phải là số tự nhiên
Câu 1 :
Ta có :
\(A=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{9999}{10000}\)
\(A=\frac{4-1}{4}+\frac{9-1}{9}+\frac{16-1}{16}+...+\frac{10000-1}{10000}\)
\(A=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{100^2-1}{100^2}\)
\(A=\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{3^2}{3^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{4^2}{4^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{100^2}{100^2}-\frac{1}{100^2}\)
\(A=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+...+1-\frac{1}{100^2}\)
\(A=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)
Do từ \(2\) đến \(100\) có \(100-2+1=99\) số \(1\) nên :
\(A=99-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)< 99\) \(\left(1\right)\)
Đặt \(B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\) lại có :
\(B< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(B< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(B< 1-\frac{1}{100}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(A=99-B>99-1=98\)
\(\Rightarrow\)\(A>98\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(98< A< 99\)
Vậy A không phải là số nguyên
Chúc bạn học tốt ~
A=\(\frac{1}{1^2}\)+\(\frac{1}{2^2}\)+\(\frac{1}{3^2}\)+...+\(\frac{1}{2013^2}\)
A=1+\(\frac{1}{2^2}\)+\(\frac{1}{3^2}\)+...+\(\frac{1}{2013^2}\)>1
A=1+\(\frac{1}{2^2}\)+\(\frac{1}{3^2}\)+...+\(\frac{1}{2013^2}\)<1+\(\frac{1}{1\cdot2}\)+\(\frac{1}{2\cdot3}\)+...+\(\frac{1}{2012\cdot2013}\)
A<1+1-\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{3}\)+...+\(\frac{1}{2012}\)-\(\frac{1}{2013}\)
A<2-\(\frac{1}{2013}\)<2
=>A<2
Vì A>1;A<2=>1<A<2
=>A không phải là STN