Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Do $ABCD$ là hình thoi nên:
\(\widehat{D_1}=\widehat{B_1}=180^0-\widehat{BAD}=30^0\) (2 góc trong cùng phía )
\(\widehat{F_1}=\widehat{BAE}=30^0\) (so le trong với \(AB\parallel CD\))
Do đó: \(\widehat{D_1}=\widehat{F_1}\Rightarrow \triangle ADF\) cân tại $A$, suy ra $AF=AD=a(1)$
Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$
Ta có: \(\frac{AH}{AB}=\sin \widehat{ABH}=\sin \widehat{B_1}=\sin 30^0=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow AH=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}\)
\(\widehat{AEH}=\widehat{EAB}+\widehat{B_1}=30^0+30^0=60^0\)
\(\Rightarrow \frac{AH}{AE}=\sin \widehat{AEH}=\sin 60^0=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow AE=\frac{2AH}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}(2)\)
Từ (1);(2) suy ra \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{\frac{a^2}{3}}+\frac{1}{a^2}=\frac{4}{a^2}\) (đpcm)
Xét tam giác AKD và tam giác ABE ta có:
\(\widehat{ADK}=\widehat{ABE}\left(=90^o\right)\)
\(\widehat{KAD}=\widehat{BAE}\) (cùng phụ \(\widehat{DAF}\)
=> \(\Delta AKD\sim\Delta AEB\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AK}{AE}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow AK=\dfrac{1}{2}AE\)
Xét tam giác AKF vuông tại A có đcao AD :
\(\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AK^2}+\dfrac{1}{AF^2}\) (HTL)
\(\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}AB^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}\)
\(\dfrac{4}{AB^2}=\dfrac{4}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}\)
\(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{4AF^2}\)
Hình bạn tự vẽ nha.
a, ABCD là hình vuông \(\Rightarrow AB=BC=CD=AD\)
Ta có: \(\hat{IAD}+\hat{DAE}=90^o\)
\(\hat{BAE}+\hat{DAE}=90^o\)
\(\Rightarrow \hat{IAD} =\hat{BAE}\)
Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta ABE\) có:
\(\hat{ADI}=\hat{ABE}=90^o\)
\(AD=AB\left(cmt\right)\)
\(\hat{IAD}=\hat{BAE}(cmt)\)
\(\Rightarrow\Delta ADI=\Delta ABE\left(g-c-g\right)\Rightarrow AI=AE\)
b, \(\Delta AIK\) có: \(\hat{IAK}=90^o\), \(AD\perp IK\)
\(\Rightarrow AD.IK=AI.AK\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) mà \(AI=AE\left(cmt\right)\Rightarrow AD.IK=AE.AK\)
c, \(\Delta AIK\) có: \(\hat{IAK}=90^o\), \(AD\perp IK\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AI^2}+\dfrac{1}{AK^2}\)(hệ thức lượng trong tam giác vuông) mà \(AI=AE\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AK^2}\) mà hình vuông ABCD không đổi \(\Rightarrow\) AD không đổi\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AK^2}\) không đổi
Vậy \(\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AK^2}\) không đổi khi E thay đổi trên cạnh BC
Hai câu cuối í ẹ chưa nghĩ ra, để sau.
Vì ABCD là hình vuông (giả thiết).
\(\Rightarrow AB=BC=CD=DA\)(tính chất)
Và \(AB//CD\)(tính chất) \(\Rightarrow AB//DF\).
Và \(AD//CE\)(tính chất) \(\Rightarrow CE//AD\)
\(AB//DF\)(chứng minh trên)
\(\frac{AB}{AE}=\frac{FC}{FE}\)(hệ quả của định lí Ta-lét)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{FC}{FE}\)(vì \(AB=AD\))
\(\Rightarrow\frac{AD^2}{AE^2}=\frac{FC^2}{FE^2}\left(1\right)\)
Vì \(AB//CF\)(giả thiết)
\(\Rightarrow\frac{BE}{CE}=\frac{AE}{FE}\)(hệ quả của định lí Ta-lét) (2)
\(\Rightarrow\frac{BE}{CE+BE}=\frac{AE}{FE+AE}\)(tính chất của tỉ lệ thức)
\(\Rightarrow\frac{BE}{BC}=\frac{AE}{AF}\)\(\Rightarrow\frac{BE}{AD}=\frac{AE}{AF}\)(vì \(AD=BC\))
\(\Rightarrow\frac{AD}{AF}=\frac{BE}{AE}\)(tính chất của tỉ lệ thức)
Từ (2) \(\Rightarrow\frac{BE}{AE}=\frac{CE}{FE}\)(tính chất của tỉ lệ thức)
Do đó \(\frac{AD}{AF}=\frac{CE}{FE}\Rightarrow\frac{AD^2}{AF^2}=\frac{CE^2}{FE^2}\left(3\right)\)
Từ (1) và (3)
\(\Rightarrow\frac{AD^2}{AE^2}+\frac{AD^2}{AF^2}=\frac{FC^2}{FE^2}+\frac{CE^2}{FE^2}\)
\(\Rightarrow AD^2\left(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}\right)=\frac{FC^2+CE^2}{FE^2}\)
Vì ABCD là hình vuông (giả thiết)
\(\Rightarrow BC\perp CD\)(tính chất)\(\Rightarrow EC\perp DF\)
Do đó \(\Delta CEF\)vuông tại C.
\(\Rightarrow CE^2+CF^2=EF^2\)(định lí Py-ta-go)
Do đó: \(AD^2\left(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}\right)=\frac{FE^2}{FE^2}=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AD^2}\)(điều phải chứng minh).
A B D C E F M
Vẽ AM ⊥ AF cắt tia CB tại M.
△AME vuông tại A, đg cao AB: \(\dfrac{1}{AB^2}\) = \(\dfrac{1}{AM^2}\)+\(\dfrac{1}{AE^2}\) (1)
Xét ΔABM vuông tại B và ΔADF vuông tại D có: góc MAB = góc FAD (cùng phụ góc BAE)
⇒ △ABM ∽ △ADF (g.g)
⇒ \(\dfrac{AM}{AF}\) = \(\dfrac{AB}{AD}\) = 2
⇒ AM = 2AF (2)
(1)(2) ⇒ \(\dfrac{1}{AB^2}\) = \(\dfrac{1}{4AF^2}\)+\(\dfrac{1}{AE^2}\)
vẽ AH vuông góc với AE tại A(H thuộc CD)
hai tam giác AHD và tam giác AEB đồng dạng(g-g)(tự cm nha)
có tỉ số đồng dạng là 1/2
do đó AH=AE/2
áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
\(\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{AF^2}\\ \dfrac{1}{\dfrac{1}{4}AB^2}=\dfrac{1}{AF^2}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}AE^2}\\ \dfrac{4}{AB^2}=\dfrac{1}{AF^2}+\dfrac{4}{AE}^2\\ \dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{4AF^2}\left(đpcm\right)\)