Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tính khoảng cách giữa AD và BC.
● Trong ΔADH vẽ đường cao HK tức là HK ⊥ AD (1)
- Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK (2)
- Từ (1) và (2) ta suy ra d(AD, BC) = HK.
● Xét ΔDIA vuông tại I ta có:
● Xét ΔDAH ta có:
\(a\perp\left(P\right)\) tại O
\(OH\subset\left(P\right)\)
Do đó: \(a\perp OH\)
mà \(b\perp OH\)
nên \(d\left(a;b\right)=OH\)
Đặt \(\overrightarrow{DA}=\)\(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{c}\) với \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=a\) và \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=\frac{a^2}{2}\) như hình vẽ
Do M là trung điểm AB nên \(\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\)
do đó \(\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)
Xét điểm \(N\in AC\), giả sử \(\overrightarrow{NA}=t.\overrightarrow{NC}\), \(t\ne1\). Khi đó \(\overrightarrow{DN}=\frac{\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{c}}{1-t}\)
Vậy \(DN\perp CM\Rightarrow\overrightarrow{DN}.\overrightarrow{CM}=0\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\right)\left(\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{c}\right)=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\)
Từ đó , với \(N\in AC\) mà \(\overrightarrow{NC}=-2\overrightarrow{NA}\) thì \(DN\perp CM\) và khi đó
\(\overrightarrow{DN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}\)
Giả sử UV là đoạn vuông góc chung của CM, DN với \(U\in CM,V\in DN\) và \(\overrightarrow{CU}=u\overrightarrow{CM}=\frac{u}{2}.\overrightarrow{a}+\frac{u}{2}.\overrightarrow{b}-u.\overrightarrow{c},\overrightarrow{DV}=v.\overrightarrow{DN}=\frac{2v}{3}.\overrightarrow{a}+\frac{v}{3}.\overrightarrow{c}\)
Từ đó suy ra
\(\overrightarrow{UV}=\overrightarrow{DV}-\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CU}\right)\)
\(=\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)\overrightarrow{a}-\frac{u}{2}\overrightarrow{b}+\left(\frac{v}{3}+u-1\right)\overrightarrow{c}\)
Điều kiện \(\overrightarrow{UV}.\overrightarrow{CM}=0\) tương đương với :
\(\frac{1}{2}\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)-\frac{u}{4}-\left(\frac{v}{3}+u-1\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)+\frac{u}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{v}{3}+u-1\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{v}{3}+u-1\right)=0\)
Từ đó ta thu được \(u=\frac{2}{3}\)
Điều kiện \(\overrightarrow{UV}.\overrightarrow{DN}=0\) tương đương với :
\(\frac{2}{3}\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)-\frac{u}{6}+\frac{1}{3}\left(\frac{v}{3}+u-1\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)-\frac{u}{12}+\frac{1}{3}\left(\frac{v}{3}+u-1\right)=0\)
Từ đó ta thu được \(v=\frac{6}{7}\)
Khi đó, \(\overrightarrow{UV}=\frac{5}{21}\overrightarrow{a}-\frac{7}{21}\overrightarrow{b}-\frac{1}{21}\overrightarrow{c}=\frac{1}{21}\left(5\overrightarrow{a}-7\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\)
Suy ra \(d\left(CM,DN\right)=UV=\sqrt{\left|\overrightarrow{UV}\right|^2}=\frac{a\sqrt{42}}{21}\)
Đáp án B.
Vẽ đường thẳng d qua B và song song với AC.
Gọi K, I lần lượt là hình chiếu của H trên d và SB, L là hình chiếu của H trên SK.
Đáp án D
I là trung điểm cạnh đáy BC. Do SA = SB = SC = SD nên SO ⊥ (ABCD)
Từ đó ta chứng minh được
Tính được
Suy ra
S A B C D H O M N P Q K E I
a/
Ta có
\(CB\perp AB\) (ABCD là hình vuông)
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CB\)
\(\Rightarrow CB\perp\left(SAB\right)\) => CB=a là khoảng cách từ C đến mp (SAB)
b/
Trong mp (SAD) dựng đường thẳng vuông góc với SD cắt SD tại H
Ta có
\(CD\perp AD\) (ABCD là hình vuông)
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\)
\(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp AH\)
Mà \(AH\perp SD\)
\(\Rightarrow AH\perp\left(SCD\right)\) => AH là khoảng cách từ A đến mp (SCD)
Xét tg vuông SAD có
\(SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}\) (Pitago)
Ta có
\(AD^2=DH.SD\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
\(\Rightarrow DH=\dfrac{AD^2}{SD}=\dfrac{a^2}{a\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
Xét tg vuông ADH có
\(AH=\sqrt{AD^2-DH^2}\) (Pitago)
\(\Rightarrow AH=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
c/ Trong mp (ABCD) Qua O dựng đường thẳng //CD cắt AD tại M và BC tại N => MN//CD (1)
Trong mp (SAD) dựng đường thẳng // AH cắt SD tại Q => MQ // AH
TRong mp (SCD) qua Q dựng đường thẳng //CD cắt SC tại P => QP // CD (2)
Từ (1) và (2) => MN // PQ => M; N; P; Q cùng thuộc 1 mặt phẳng
=> PQ là giao tuyến của mp (MNQP) với mp (SCD)
Trong mp (MNQP) qua O dựng đường thẳng // với MQ cắt QP tại K
Ta có
MQ//AH; OH// MQ => OK//AH
Mà \(AH\perp\left(SCD\right)\)
\(\Rightarrow OK\perp\left(SCD\right)\) => OK là khoảng cách từ O đến mp (SCD)
Xét tứ giác MQKO có
MQ//OK; QP//MN => MQKO là hình bình hành => OK = MQ
Xét tg ACD có
OA=OC (t/c đường chéo hình vuông)
MO//CD
=> MA=MD (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh còn lai)
Xét tg ADH có
MA=MD (cmt); MQ//AH => QD = QH (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh còn lai)
=> MQ là đường trung bình của tg ADH
\(\Rightarrow OK=MQ=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\)
d/
Trong mp (SCD) qua H dựng đường thẳng //CD cắt SC tại E => HE//CD
Ta có
AB // CD (Hai cạnh đối hình vuông)
HE // CD
=> AB//HE => A; B; H; E cùng thuộc một mặt phẳng
Trong mp (AHEB) qua e Dựng đường thẳng // AH cắt AB tại I
Ta có
AH//IE; AB//HE => AHEB là hình bình hành => IE=AH
Ta có
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AB\)
\(AB\perp AD\) (ABCD là hình vuông)
=> \(AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp AH\)
Mà AH//IE
\(\Rightarrow AB\perp IE\) (1)
Ta có
\(AH\perp\left(SCD\right)\) (cmt); mà AH//IE \(\Rightarrow IE\perp\left(SCD\right)\Rightarrow IE\perp SC\) (2)
Từ (1) và (2) => IE là khoảng cách giữa AB và SC
\(\Rightarrow IE=AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa SB và (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SBA}=45^0\Rightarrow SA=AB.tan45^0=a\)
Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow AO=CO\Rightarrow d\left(C;\left(SBD\right)\right)=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)
Kẻ AH vuông góc BD, kẻ AK vuông góc SH
\(\Rightarrow AK\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)
\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{4a^2}=\dfrac{5}{4a^2}\)
\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{5}{4a^2}=\dfrac{9}{4a^2}\)
\(\Rightarrow AK=\dfrac{2a}{3}\Rightarrow d\left(C;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{2a}{3}\)
Có:
AB // HK có khoảng cách là AH = BK = b
AH // BK có khoàng cách là AB = HK =a
Học Tốt Bạn Nhé!