Question

[Crush]

Cho hai đường tròn (O;R) và (O' r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Biết OO' = \(2+2\sqrt{3}\) (cm); góc AOB = 60⁰; góc AO'B = 90⁰. Tính bán kính R, r

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Lộc]

Ta có : Đường tròn tâm O cắt O^, tại A và B .

=> OO^, là đường trung trực của AB .

=> \(\left\{{}\begin{matrix}HA=HB=\frac{1}{2}AB\\AB\perp OO^,\end{matrix}\right.\)

=> \(\widehat{AO^,H}=\frac{1}{2}\widehat{AO^,B}=45^o\)

Mà tam giác AHO^, vuông .

=> Tam giác AHO^, vuông cân .

- Áp dụng định lý pi ta go vào tam giác AHO^, có :

\(AO^,=\sqrt{AH^2+OH^{,2}}=\sqrt{2AH^2}=\sqrt{2\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{AB^2}{2}}\)

- Áp dụng định lý pi ta go vào tam giác AHO^, có :

\(O^,H=\sqrt{AO^{,2}-AH^2}=\sqrt{\frac{AB^2}{2}-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{AB^2}{4}}=\frac{AB}{2}\)

- Áp dụng định lý pi ta go vào tam giác AHO có :

\(OH=\sqrt{AO^2-AH^2}\)

Mà tam giác OAB là tam giác đều ( \(\left\{{}\begin{matrix}OA=OB=R\\\widehat{AOB}=60^o\end{matrix}\right.\) )

=> \(AO=AB\)

=> \(OH=\sqrt{AB^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3AB^2}{4}}=\frac{AB\sqrt{3}}{2}\)

Ta có : \(OO^,=OH+O^,H=\frac{AB}{2}+\frac{AB\sqrt{3}}{2}=2+2\sqrt{3}\)

=> AB = 4 ( cm )

=> \(AH=BH=\frac{1}{2}AB=2\left(cm\right)\)

- Áp dụng tỉ số lượng giác vào :

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta AHO^,\perp H:SinAO^,H=Sin45=\frac{AH}{AO^,}=\frac{2}{AO^,}\\\Delta AHO\perp H:SinAOH=Sin30=\frac{AH}{AO}=\frac{2}{AO}\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}AO^,=2\sqrt{2}=r\\AO=4=R\end{matrix}\right.\) ( cm )